Logika. Krótkie Wprowadzenie 36 ebook

Przedmowa do wydania pierwszego

Logika jest równocześnie jedną z najstarszych, jak i najbardziej współczesnych dziedzin nauki. Jej początki sięgają IV w. p.n.e. Jedynymi starszymi od niej naukami są filozofia i matematyka, z którymi była zawsze blisko związana. Została zrewolucjonizowana na początku XX w. dzięki użyciu nowych narzędzi matematycznych, a w jego drugiej połowie znalazła radykalnie nowe i ważne zastosowania dla obliczalności i przetwarzania informacji. Odgrywa więc centralną rolę w dużej części ludzkich myśli i przedsięwzięć.

Książka ta jest wprowadzeniem do logiki, takiej, jaką ją widzą współcześni logicy. Nie próbuje ona jednak być podręcznikiem – tych jest już dostępnych bardzo wiele. Celem niniejszej książki jest zbadanie źródeł logiki, które tkwią głęboko w filozofii. Po drodze zostanie objaśnione trochę logiki formalnej.

Każdy z głównych rozdziałów rozpoczynam od pewnego problemu filozoficznego lub zagadki logicznej. Następnie objaśniam jedno podejście do nich. Często jest ono zupełnie standardowe, choć w pewnych dziedzinach nie ma standardowej odpowiedzi: logicy wciąż toczą dyskusje. W takich przypadkach wybieram podejście interesujące. Niemal wszystkie te teorie, nieważne czy standardowe, czy nie, mogą zostać podważone. Każdy rozdział kończę, wymieniając pewne problemy, stanowiska, które omówiłem. Czasami problemy te są standardowe, czasami nie; czasami mają proste odpowiedzi, czasami nie. Moim celem jest zachęcić Cię do zastanowienia się, jak Ty to widzisz.

Współczesna logika jest przedmiotem wysoko zmatematyzowanym. Starałem się pisać w taki sposób, by uniknąć niemal całej matematyki. Jedynie w rozdziałach 11–13 będzie potrzebna odrobina szkolnej algebry. Zapewne potrzebna będzie determinacja, by opanować symbolikę, która może być dla Ciebie nowa, ale wciąż jest to znacznie mniej, niż potrzeba do zrozumienia podstaw dowolnego nowego języka. Zyskujemy też w zamian precyzję w rozważaniu trudnych pytań, dzięki której możliwe problemy w opanowaniu nowego symbolizmu stają się zdecydowanie warte wysiłku. Konieczne jest tu jednak słowo ostrzeżenia: książek o logice czy filozofii nie czyta się tak jak powieści. Będą momenty, gdy lektura będzie wymagała uwagi i skupienia. Czasami trzeba będzie przerwać i się zastanowić; należy być też gotowym na to, że czasem trzeba będzie wrócić do jakiegoś akapitu i przeczytać go jeszcze raz.

DodatekOdrobina historii i dalsze lektury dotyczy rozwoju logiki. Starałem się w nim umieścić pewne kwestie omówione w książce z perspektywy historycznej, by pokazać, że logika jest przedmiotem żywym, który od zawsze ewoluował i wciąż będzie to robił. W części tej zawarte są też propozycje dalszych lektur.

Są jeszcze trzy inne dodatki. Pierwszy zawiera słowniczek terminów i symboli. Możesz do niego zajrzeć, jeśli zapomnisz, co oznaczało dane słowo czy symbol. Drugi zawiera po jednym pytaniu do każdego rozdziału, które pozwolą sprawdzić rozumienie jego głównych idei. Trzeci to rozwiązania zadań. Tego dodatku nie było w pierwszym druku pierwszego wydania, został dodany w dodrukach.

Temat książki przedstawiony jest raczej szeroko niż głęboko. Łatwo byłoby napisać osobny tom na temat każdego z rozdziałów – tak naprawdę wiele takich już powstało. Mimo to jest w logice bardzo dużo ważnych kwestii, o których nawet nie wspomniałem. Ale jeśli dotrwasz do końca, zdobędziesz całkiem dobry ogląd fundamentów współczesnej logiki i zrozumiesz, dlaczego ludzie uważają, że wciąż warto się nią zajmować.

Przedmowa do wydania drugiego

Pierwsze wydanie tej książki pojawiło się w 2000 r. W 2016 r. Wydawnictwo Uniwersytetu Oxfordzkiego skontaktowało się ze mną w sprawie możliwości opracowania drugiego wydania. W pierwszej chwili pomyślałem, że nie ma to sensu. Gdyby była to książka o, powiedzmy, stosunkach międzynarodowych, z pewnością byłaby już zdezaktualizowana. Ale logika rozwija się, ogólnie mówiąc, w wolniejszym tempie. Materiał z pierwszego wydania jest obecnie tak samo dobry jak wcześniej. Nie sądzę też, że umiałbym teraz przedstawić go lepiej zakładanej docelowej grupie odbiorców. Co więcej, książka dobrze się sprzedawała i była już przetłumaczona na osiem języków (jeśli dobrze pamiętam).

Wydawnictwo zwróciło mi jednak uwagę, że nie wykorzystałem swoich przydziałowych 35 tys. słów w pierwszym wydaniu, i zasugerowało, że mógłbym dodać kilka nowych rozdziałów. Zastanowiłem się nad tym i uznałem to za świetny pomysł. Pierwsze wydanie daje pewne rozumienie podstaw współczesnej logiki, ale nic więcej. Logika jest przedmiotem o wielkiej głębi i pięknie, a materiał pierwszego wydania tego nie oddaje. Dwa dodatkowe rozdziały pozwoliłyby mi to osiągnąć – przynajmniej w ograniczonym zakresie; nie ma szans zrobić więcej, niż ledwie zarysować powierzchnię problemu w książce tego typu. Jednak nowe rozdziały dają czytelnikowi „dalszą perspektywę” – a przynajmniej taką mam nadzieję.

W obecnej formie książka zawiera pierwotne rozdziały, raczej niezmienione, co najwyżej w pewnych miejscach odrobinę wygładzone. Historyczny rozdział 14 stał się teraz dodatkiem Odrobina historii i dalsze lektury. Mamy też dwa nowe rozdziały – 14 i 15 – na temat, odpowiednio, Turinga i problemu stopu oraz Gödla i jego twierdzeń o niezupełności. Zachowałem format pierwszego wydania. Główne idee każdego rozdziału zostały wypunktowane na jego końcu. Materiał historyczny, zadania i słowniczek zostały rozszerzone, by obejmowały również nowy materiał.

Nowe rozdziały są z konieczności trudniejsze niż poprzednie; dołożyłem jednak wszelkich starań, żeby były możliwie przyjazne dla użytkownika. Ci, którzy je pominą, nic nie stracą w porównaniu do tych, którzy kupili pierwsze wydanie. Ci zaś, którzy do nich zajrzą, uzyskają, mam nadzieję, jakiś ogląd, dokąd ten łatwiejszy materiał może zaprowadzić.

Spis ilustracji

1. Twidlitam i Twidlitu

Zasoby internetu

2. Gottlob Frege

© akg-images

3. Nikt

Internet Archive

4. Bertrand Russell

Private collection

5. Wstęga Möbiusa

© Nick Koudis/Photodisc

6. Arystoteles

© 2006 Alinari/TopFoto

7. Wyciąganie pochopnych wniosków

© John Taylor

8. Dla Doktora Who czas i przestrzeń niewiele się od siebie różnią

© Photodynamx/Dreamstime

9. Gottfried Wilhelm Leibniz

© Science Museum/Science & Society Picture Library. All rights reserved

10. Dylemat motocyklisty

© John Taylor

11. Holmes pokazuje siłę swojej dedukcji

Mary Evans Picture Library

12. Materia posiada charakterystyczną strukturę. Galaktyka spiralna

© Chris Butler/Science Photo Library

13. Diabelski plan

© John Taylor

14. Alan Turing

Photo Researchers, Inc./Alamy Stock Photo

15. Kurt Gödel

Pictorial Press Ltd/Alamy Stock Photo

Rozdział 1

Poprawność wnioskowań: co z czego wynika?

Niemal każdy lubi myśleć o sobie, że jest logiczny. Gdy powiemy do kogoś: „Jesteś nielogiczny”, zwykle chcemy wyrazić w ten sposób krytykę. Być nielogicznym oznacza być skołowanym, skonfundowanym, nieracjonalnym. Ale czym jest logika? W powieści Lewisa Carrolla Po drugiej stronie lustraAlicja spotyka bliźnięta dzielące z upodobaniem włos na czworo, Twidlitam i Twidlitu (rys. 1), które wykorzystują chwilę słabości Alicji, by przypuścić na nią atak:

– Wiem, co masz na myśli – powiedział Twidlitu – ale to nie tak. W żadnym wypadku!

– A z drugiej strony – podjął Twidlitam – gdyby nawet było tak, jak mogłoby być, to by tak było, ale ponieważ tak nie jest, to jest inaczej. To logiczne1.

To, co wyczynia tutaj Twidlitam – przynajmniej w parodii Carolla – to rozumowanie. I, jak twierdzi, na tym właśnie polega logika.

Wszyscy rozumujemy. Próbujemy zrozumieć różne sprawy, wyciągając wnioski z tego, co już wiemy. Usiłujemy przekonać innych do pewnych kwestii, podając im stojące za nimi powody. Logika zajmuje się badaniem, co można uznać za dobre uzasadnienie czego i dlaczego. Trzeba to jednak rozumieć we właściwy sposób. Oto dwa przykłady rozumowania – logicy nazywają je wnioskowaniami:

1. Rzym jest stolicą Włoch, a ten samolot ląduje w Rzymie, więc ten samolot ląduje we Włoszech.

2. Moskwa jest stolicą USA, więc nie możesz pojechać do Moskwy, nie jadąc do USA.

1. Twidlitam i Twidlitu rozmawiają z Alicją o niuansach logiki

W każdym z przykładów twierdzenia występujące przed słowem „więc” (logicy nazywają je przesłankami) podają powody; twierdzenia występujące po słowie „więc” (logicy nazywają je wnioskami) podają, co te powody uzasadniają. Pierwsze wnioskowanie jest w porządku, ale drugie jest raczej kiepskie i nie przekona nikogo, kto ma choćby podstawową wiedzę z geografii: przesłanka, że Moskwa jest stolicą USA, jest po prostu fałszywa. Zauważ jednak, że gdyby ta przesłanka była prawdziwa – gdyby na przykład Stany Zjednoczone wykupiły całą Rosję (a nie tylko Alaskę) i przeniosły stolicę do Moskwy, żeby być bliżej centrów władzy w Europie – to wniosek ten byłby prawdziwy. Wynikałby bowiem z przesłanek – a tylko to interesuje logikę. Nie interesuje jej, czy przesłanki wnioskowania są prawdziwe, czy nie. To domena kogoś innego (w tym przypadku geografa). Logikę zajmuje tylko to, czy wniosek wynika z przesłanek. Logicy nazywają wnioskowanie, w którym wniosek naprawdę wynika z przesłanek, poprawnym formalnie. Główne zadanie logiki polega na zrozumieniu, na czym polega poprawność wnioskowań.

Mogłoby się wydawać, że jest to nudne zajęcie – intelektualne ćwiczenie mniej pasjonujące nawet od rozwiązywania krzyżówek. Okazuje się jednak, że nie tylko jest to bardzo trudne, ale i nierozerwalnie związanie z wieloma ważnymi (a nieraz fundamentalnymi) pytaniami filozoficznymi. Zapoznamy się z niektórymi w kolejnych rozdziałach. Na razie jednak ustalmy kilka podstawowych faktów na temat poprawności wnioskowań.

Zacznijmy od tego, że powszechnie mówi się o dwóch typach wnioskowań, dla których nieco odmiennie określa się poprawność2. Żeby to zrozumieć, zastanówmy się nad tymi trzema wnioskowaniami:

1. Gdyby złodziej włamał się do domu przez okno w kuchni, na zewnątrz zostałyby ślady jego stóp; jednak nie ma tam żadnych śladów, więc złodziej nie włamał się przez okno w kuchni.

2. Zbierają się chmury burzowe, więc będzie padał deszcz.

3. Zbierają się chmury burzowe, więc złodziej nie włamał się przez okno w kuchni.

Pierwsze wnioskowanie jest bardzo proste. Jeśli jego przesłanki są prawdziwe, to wniosek również musi taki być. Albo, ujmując to nieco inaczej, przesłanki nie mogłyby być prawdziwe, gdyby wniosek też taki nie był. Logicy nazywają wnioskowania tego rodzaju poprawnymi formalnie wnioskowaniami dedukcyjnymi. Drugie wnioskowanie jest trochę inne. Przesłanka z pewnością daje dobre uzasadnienie dla wniosku, ale nie daje mu całkowitej pewności. W końcu czasem się zdarza, że wiatr niespodziewanie rozwiewa chmury. Tego typu wnioskowania nie są poprawną formalnie dedukcją. Nazywa się je zwykle mocnymi wnioskowaniami indukcyjnymi. W przeciwieństwie do nich wnioskowanie trzecie jest beznadziejne. Jego przesłanka nie daje żadnego uzasadnienia dla wniosku. Nie jest ono ani poprawne formalnie, ani mocne. Gdyby ktoś faktycznie przedstawił nam takie rozumowanie, to, jako że ludzie w większości nie są głupkami, uznalibyśmy, że musi istnieć dodatkowa przesłanka, której nie dopowiedział (np. że złodzieje nie lubią narażać się na moknięcie w deszczu).

Moc argumentu indukcyjnego jest bardzo ważnym pojęciem. Nieustannie przeprowadzamy wnioskowania indukcyjne, np. rozwiązując zagadki – dlaczego samochód się zepsuł, dlaczego ktoś zachorował albo dlaczego ktoś popełnił przestępstwo. Fikcyjny logik Sherlock Holmes był w tym mistrzem. Mimo to historycznie o wiele więcej wysiłku włożono w zrozumienie poprawności wnioskowań dedukcyjnych – być może dlatego, że logicy byli raczej filozofami lub matematykami (a w tych naukach dedukcja odgrywa bardzo ważną rolę) niż lekarzami czy detektywami. Powrócimy do pojęcia indukcji w dalszej części książki. Na razie zatrzymajmy się jeszcze przy poprawności formalnej. (To zupełnie naturalne zakładać, że poprawność formalna jest łatwiejsza do zrozumienia, skoro poprawne wnioskowania dedukcyjne mają ściśle określoną formę. Nie jest złym pomysłem od tego zacząć. Jak zobaczymy, nawet to proste zadanie przysporzy nam trudności.) Od tej chwili „poprawne wnioskowanie” będzie po prostu oznaczało „poprawne formalnie wnioskowanie dedukcyjne”, chyba że zaznaczymy, że jest inaczej.

Jakie wnioskowanie jest więc poprawne? Jak widzieliśmy, takie, w którym przesłanki nie mogą być prawdziwe, a wniosek fałszywy. Ale co to oznacza? W szczególności, co to znaczy, że nie mogą? Ogólnie rzecz biorąc, „nie może” można rozumieć na wiele sposobów. Na przykład w zdaniu „Maria może grać na pianinie, a Jan nie” mówimy o ludzkich zdolnościach. Porównaj to ze zdaniem: „Nie możesz tu wejść: potrzebujesz przepustki”. Tutaj mówimy o tym, na co pozwala pewien zestaw reguł.

„Nie może” z naszego przykładu będziemy domyślnie rozumieli w taki sposób: gdy mówimy, że przesłanki nie mogą być prawdziwe, a wniosek fałszywy, to mamy na myśli, że we wszystkich sytuacjach, w których przesłanki są prawdziwe, wniosek również jest prawdziwy. Brzmi nieźle, ale czym tak w zasadzie jest sytuacja? Jakiego typu rzeczy się na nią składają i jak mają się one do siebie? I co to znaczy być prawdziwym? Oto filozoficzna zagwozdka, jak mógłby rzec Twidlitam.

Wkrótce zajmiemy się tymi sprawami, ale teraz je zostawmy i zakończmy jeszcze jedną uwagą. Nie byłoby słuszne wynieść z tego rozdziału przekonania, że wyjaśnienie poprawności formalnej, które właśnie przedstawiłem, nie niesie ze sobą żadnych trudności. (W filozofii wszystkie ciekawe twierdzenia są kontrowersyjne.) Oto jedna z nich: jeśli to wyjaśnienie jest poprawne, to znaczy, że wiedzieć o poprawności wnioskowania to wiedzieć, że nie istnieje żadna sytuacja, w której przesłanki są prawdziwe, a wniosek nie. Jakkolwiek byśmy rozumieli (w ramach rozsądku), czym jest sytuacja, jest ich z pewnością bardzo dużo: sytuacje związane z rzeczami na planetach krążących wokół odległych gwiazd; sytuacje związane ze zdarzeniami mającymi miejsce na długo, zanim we wszechświecie pojawiło się życie; sytuacje opisane w dziełach literackich; sytuacje wyobrażone przez wizjonerów. Skąd możemy wiedzieć, co jest prawdą we wszystkich sytuacjach? Co gorsza, wydaje się, że sytuacji jest nieskończenie wiele (sytuacje mające miejsce rok od dziś, sytuacje mające miejsce dwa lata od dziś, sytuacje mające miejsce trzy lata od dziś, …). Jest więc niemożliwe, i to z zasady, dokonać przeglądu wszystkich sytuacji. Jeśli więc ten opis poprawności jest prawidłowy, a my potrafimy (przynajmniej w wielu przypadkach) rozróżnić wnioskowania poprawne od niepoprawnych, musimy mieć do tego jakiś specjalny rodzaj wglądu, pochodzący z jakiegoś wyjątkowego źródła. Tylko co to za źródło?

Czy musimy tu przywoływać jakąś mistyczną intuicję? Niekoniecznie. Rozważmy analogiczny problem. Wszyscy potrafimy z łatwością odróżnić poprawne gramatycznie ciągi słów naszego ojczystego języka od ciągów niegramatycznych. Przykładowo, każda osoba, której językiem ojczystym jest język polski, rozpozna, że „To jest krzesło” jest poprawnym gramatycznie zdaniem, a „To krzesło jest jest to” już nie. Ale wydaje się, że istnieje nieskończona ilość poprawnych i niepoprawnych gramatycznie zdań. (Na przykład: „Jeden jest liczbą”, „Dwa jest liczbą”, „Trzy jest liczbą”, … są wszystkie gramatycznymi zdaniami. A niegramatyczne sałatki słowne można z łatwością tworzyć ad libitum.) Jak więc to robimy? Prawdopodobnie najbardziej wpływowy współczesny językoznawca, Noam Chomsky, sugerował, że mamy taką zdolność, ponieważ te nieskończone zbiory zdań są ujęte przez skończone zbiory głęboko w nas zakorzenionych reguł; ewolucja zaprogramowała w nas wrodzoną gramatykę. Czy z logiką może być tak samo? Czy prawa logiki są podobnie głęboko w nas zakorzenione?

Rozdział 2

Funkcje prawdziwościowe – lub nie?

Niezależnie od tego, czy zasady poprawności wnioskowań są wrodzone, czy nie, wszyscy mamy związaną z nimi dość silną intuicję. Na przykład, będziemy raczej jednomyślnie zgodni co do tego, że następujące wnioskowanie jest poprawne: „Ona jest kobietą i bankowcem, więc jest bankowcem”. Albo że takie wnioskowanie jest niepoprawne: „On jest stolarzem, więc jest stolarzem i gra w koszykówkę”.

Czasami jednak nasze intuicje zwodzą nas na manowce. Co myślisz o poniższym wnioskowaniu? Nad linią ciągłą zapisane są dwie przesłanki, a pod nią wniosek.

Królowa Anglii jest bogata. Królowa Anglii nie jest bogata.

Świnie mogą latać.

Z pewnością nie wyglądają na poprawne. Majątek królowej – niezależnie od jego wielkości – zdaje się nie mieć żadnego wpływu na zdolność świń do lotu.

A co sądzisz o następujących dwóch wnioskowaniach?

Królowa Anglii jest bogata.

Królowa Anglii jest bogata lub świnie mogą latać.

Królowa Anglii jest bogata lub świnie mogą latać.

Królowa Anglii nie jest bogata.

Świnie mogą latać.

Pierwsze wydaje się poprawne. Popatrzmy na jego wniosek. Logicy nazywają tego typu zdania alternatywą, a zdania składowe po obu stronach słowa „lub” zwane są członami alternatywy. Kiedy alternatywa jest prawdziwa? Gdy choć jeden z jej członów jest prawdziwy. Więc w każdej sytuacji, w której ta przesłanka jest prawdziwa, wniosek również będzie prawdziwy. Drugie wnioskowanie także wygląda na poprawne. Jeśli jedno z dwóch zdań jest prawdziwe, a do tego wiemy, że pierwsze jest fałszywe, to prawdziwe musi być drugie.

Problem pojawia się, gdy połączymy ze sobą te dwa poprawne wnioskowania, gdyż uzyskamy wnioskowanie, które wygląda na niepoprawne:

Królowa Anglii jest bogata.

Królowa Anglii jest bogata lub świnie mogą latać.

Królowa Anglii nie jest bogata.

Świnie mogą latać.

Coś tu nie gra. Łączenie ze sobą w łańcuchy poprawnych wnioskowań nie może dać w wyniku wnioskowania niepoprawnego. Jeśli wszystkie przesłanki są prawdziwe w dowolnej sytuacji, to prawdziwe są też ich wnioski oraz wnioski, które wynikają z nich, i tak dalej, dopóki nie dojdziemy do wniosku ostatecznego. Co więc poszło nie tak?

By udzielić na to pytanie ortodoksyjnej odpowiedzi, musimy najpierw przyjrzeć się pewnym szczegółom. Na początek oznaczmy zdanie „Świnie mogą latać” jako p, a zdanie „Królowa Anglii jest bogata” jako q. Pozwoli to nam na zwięzły zapis, ale nie jest to jedyna zaleta: jeśli się chwilę nad tym zastanowisz, zauważysz, że te dwa zdania użyte w przykładzie są wybrane zupełnie przypadkowo; równie dobrze mógłbym użyć dowolnych innych zdań. Możemy więc zignorować ich treść. Temu właśnie służy oznaczanie zdań pojedynczymi literami.

Zdanie „Królowa Anglii jest bogata lub świnie mogą latać” staje się teraz „q lub p”. Logicy często zapisują to jako q∨p. A co ze zdaniem „Królowa Anglii nie jest bogata”? Przeformułujmy je na „Nie jest tak, że Królowa Anglii jest bogata”, wyciągając część przeczącą na początek. Zdanie staje się wtedy „Nie jest tak, że q”. Logicy często zapisują to jako ¬q i nazywają negacją zdania q. A skoro już przy tym jesteśmy, to co ze zdaniem „Królowa Anglii jest bogata i świnie mogą latać”, czyli „q i p”? Logicy często zapisują to jako q∧p i nazywają koniunkcją zdań q i p, gdzie q oraz p są członami koniunkcji. Uzbrojeni w te narzędzia możemy zapisać nasze złożone wnioskowanie następująco:

q

q∨p

¬ q

p

Co możemy powiedzieć o tym wnioskowaniu?

Zdania mogą być prawdziwe, ale mogą też być fałszywe. Użyjmy P na oznaczenie prawdy, a F na oznaczenie fałszu. Często są one zwane wartościami logicznymi, zgodnie z propozycją jednego z twórców współczesnej logiki, niemieckiego filozofa/matematyka Gottloba Fregego (rysunek 2). Załóżmy, że mamy jakieś zdanie a – jaki jest związek pomiędzy wartością logiczną zdania a a jego negacją ¬a? Naturalnie, jeśli pierwsze jest prawdziwe, to drugie jest fałszywe, i vice versa. Tak więc jeśli zdanie „Królowa Anglii jest bogata” jest prawdziwe, to „Królowa Anglii nie jest bogata” jest fałszywe, i vice versa. Możemy to zapisać następująco:

¬a ma wartość logiczną P tylko wtedy, gdy a ma wartość logiczną F.

¬a ma wartość logiczną F tylko wtedy, gdy a ma wartość logiczną P.

Logicy nazywają to warunkami prawdziwościnegacji. Jeśli założymy, że każde zdanie jest albo prawdziwe, albo fałszywe, ale nie oba naraz, to warunki te możemy przedstawić w postaci tabeli, zwanej przez logików matrycą logiczną:

a

¬a

P

F

F

P

Jeśli a ma wartość podaną w kolumnie pod nią, to odpowiadająca jej wartość ¬a znajduje się w kolumnie po jej prawej stronie.

2. Gottlob Frege (1848–1925), jeden z twórców nowoczesnej logiki

Co z alternatywą ∨? Jak już wspomniałem, wydaje się dość oczywiste, że alternatywa a∨b jest prawdziwa, gdy jedno z a lub b (a może i oba) są prawdziwe. W przeciwnym wypadku jest fałszywa. Możemy to zapisać w postaci warunków prawdziwości alternatywy:

a∨b ma wartość P, jeśli co najmniej jedno spośród a, b ma wartość P.

a∨b ma wartość F, jeśli zarówno a, jak i b mają wartość F.

Można je przedstawić w postaci następującej matrycy:

a

b

a∨b

P

P

P

P

F

P

F

P

P

F

F

F

Każdy wiersz – z wyjątkiem pierwszego, który jest nagłówkiem – przedstawia możliwą kombinację wartości logicznych a (pierwsza kolumna) i b (druga kolumna). Są cztery takie kombinacje, a więc i cztery wiersze. Dla każdej kombinacji odpowiednia wartość a∨b jest podana po prawej stronie (w trzeciej kolumnie).

Idąc za ciosem, zastanówmy się jeszcze, jaki jest związek między wartościami logicznymi zdań a, b i a∧b? Nie powinno budzić zastrzeżeń założenie, że a∧b jest prawdziwe wtedy, gdy zarówno a, jak i b są prawdziwe, a w pozostałych przypadkach jest fałszywe. Tak więc, przykładowo, zdanie „Jan ma 35 lat i jest brunetem” byłoby prawdziwe tylko wtedy, gdyby zarówno „Jan ma 35 lat”, jak i „Jan jest brunetem” było prawdą. Możemy to zapisać w postaci warunków prawdziwości koniunkcji:

a∧b ma wartość P, jeśli zarówno a, jak i b mają wartość P.

a∧b ma wartość F, jeśli co najmniej jedno spośród a, b ma wartość F.

Można je przedstawić w postaci następującej matrycy:

a

b

a∧b

P

P

P

P

F

F

F

P

F

F

F

F

No dobrze, ale jak się to wszystko ma do problemu, od którego wyszliśmy? Wróćmy do pytania, które zadałem pod koniec rozdziału 1: czym jest sytuacja? Wydaje się, że czymkolwiek by była, określa wartość logiczną każdego zdania. Przykładowo, w jednej konkretnej sytuacji może być tak, że jest prawdą to, że królowa Anglii jest bogata, a fałszem, że świnie potrafią latać, a w innej może być fałszem to, że królowa Anglii jest bogata, a prawdą to, że świnie potrafią latać. (Zauważ, że te sytuacje mogą być czysto hipotetyczne!) Innymi słowy, sytuacja określa, czy odpowiednie zdanie ma wartość P czy F. Te zdania tutaj nie zawierają „i”, „lub” ani „nie”. Mając podstawowe informacje o danej sytuacji, możemy użyć matryc logicznych, by określić wartość logiczną zdań złożonych, w których słowa te występują.

Dla przykładu, załóżmy, że mamy następującą sytuację:

p : P

q : F

r : P

(Zdaniem r może być „Rabarbar jest zdrowy”, a „p : P” oznacza, że zdaniu p przypisana jest wartość logiczna P, itd.) Jaka jest wtedy wartość logiczna zdania, powiedzmy, p ∧ (¬r∨q)? Możemy to obliczyć dokładnie w taki sam sposób, w jaki liczylibyśmy numeryczną wartość 3 (-6 + 2), używając tabel dla mnożenia i dodawania. Wartość r wynosi P. Zgodnie z matrycą ¬ wartość ¬r wynosi więc F. A skoro wartość q to F, to z matrycy ∨ wiemy, że wartość ¬r∨q to również F. Skoro zaś wartość logiczna p to P, matryca dla ∧ mówi nam, że wartość logiczna p ∧ (¬r∨q) wynosi F. Idąc tak krok po kroku, możemy określić wartość logiczną każdego wyrażenia zawierającego ∧, ∨ i ¬.

Teraz przypomnijmy sobie z rozdziału 1, że wnioskowanie jest poprawne, gdy nie ma sytuacji, w której przesłanki byłyby prawdziwe, a wniosek nieprawdziwy (fałszywy). Czyli jest poprawne, gdy nie da się tak przypisać wartości P i F odpowiednim zdaniom prostym, że wszystkie przesłanki uzyskałyby wartość P, a wniosek wartość F. Rozważmy jako przykład wnioskowanie, z którym się już spotkaliśmy, q / q ∨p. (Zapisuję to w jednej linijce, by oszczędzić wydawnictwu pieniędzy.) Interesującymi nas tu zdaniami prostymi są q i p. Istnieją cztery kombinacje wartości logicznych. Dla każdej z nich można policzyć wartość logiczną przesłanki i wniosku. Wynik możemy przedstawić następująco:

q

p

q

q ∨p

P

P

P

P

P

F

P

P

F

P

F

P

F

F

F

F

Dwie pierwsze kolumny zawierają wszystkie możliwe kombinacje wartości logicznych zdań q i p. Dwie ostatnie zawierają odpowiadające im wartości logiczne przesłanki i wniosku. Trzecia kolumna jest taka sama jak pierwsza. Jest to osobliwość tego przykładu, biorąca się stąd, że w tym konkretnym przykładzie przesłanka jest jednym ze zdań prostych. Czwartą kolumnę można odczytać z matrycy logicznej alternatywy. Mając te informacje, widzimy, że wnioskowanie jest poprawne. Nie ma bowiem ani jednego wiersza, w którym przesłanka q byłaby prawdziwa, a wniosek q ∨p – fałszywy.

Co z wnioskowaniem q ∨p,¬q / p? Postępując w ten sam sposób, uzyskujemy:

q

p

q ∨ p

¬q

p

P

P

P

F

P

P

F

P

F

F

F

P

P

P

P

F

F

F

P

F

Tym razem mamy pięć kolumn, gdyż mamy dwie przesłanki. Wartości logiczne przesłanek i wniosku można odczytać z matryc alternatywy i negacji. Tak jak w poprzednim przykładzie nie ma ani jednego wiersza, w którym równocześnie obie przesłanki byłyby prawdziwe, a wniosek fałszywy. Stąd wynika, że wnioskowanie to jest poprawne.

Co więc z wnioskowaniem, od którego wyszliśmy: q, ¬q / p? Postępując tak jak w poprzednich przykładach, otrzymujemy:

q

p

q

¬q

p

P

P

P

F

P

P

F

P

F

F

F

P

F

P

P

F

F

F

F

F

Ponownie wynik jest taki, że wnioskowanie jest poprawne. Widzimy już, dlaczego: nie ma żadnego wiersza, w którym obie przesłanki byłyby prawdziwe, a wniosek fałszywy. W zasadzie nie ma nawet żadnego wiersza, w którym obie przesłanki są prawdziwe. Tak naprawdę wniosek nie ma wcale znaczenia! Logicy opisują czasami taką sytuację, mówiąc, że wnioskowanie jest trywialnie poprawne, po prostu dlatego, że przesłanki nie mogą nigdy być równocześnie prawdziwe.

Oto więc rozwiązanie naszego wyjściowego problemu. Widzimy, że nasze początkowe intuicje dotyczące tego wnioskowania były błędne. To nic wielkiego, w końcu ludzkie intuicje mogą zawodzić. Wszystkim wydaje się oczywiste, że Ziemia się nie porusza – dopóki nie dowiedzą się na lekcji fizyki, że tak naprawdę pędzi przez przestrzeń kosmiczną. Możemy nawet zaoferować wyjaśnienie, dlaczego nasze logiczne intuicje nas zawiodły. Większość wnioskowań, z którymi spotykamy się w praktyce, nie jest typu trywialnego. Nasze intuicje rozwijają się w takim właśnie kontekście i nie mają ogólnego zastosowania – tak samo jak nawyki, które nabywamy, ucząc się chodzić (np. żeby nie przechylać się nadmiernie na jedną stronę), nie zawsze sprawdzają się w innych kontekstach (np. podczas nauki jazdy na rowerze).

Powrócimy do tej kwestii w późniejszym rozdziale. Ten zaś zakończmy szybkim spojrzeniem na adekwatność narzędzi, które wprowadziliśmy. Sprawy nie mają się tu tak dobrze, jak byśmy chcieli. Zgodnie z wprowadzonym tu podejściem wartość logiczna ¬a jest całkowicie zależna od wartości logicznej zdania a. Podobnie wartości logiczne zdań a ∨ b i a∧b zależą tylko od wartości logicznych zdań a i b. Logicy nazywają operacje, które zachowują się w ten sposób, funkcjami prawdziwościowymi. Mamy jednak dobre powody, żeby sądzić, że „lub” i „i”, które występują w języku polskim, nie są funkcjami prawdziwościowymi – a przynajmniej nie zawsze.

Przykładowo, zgodnie z matrycą logiczną dla ∧, „a i b” ma zawsze taką samą wartość logiczną jak „b i a”: mianowicie oba są prawdziwe, jeśli zarówno a, jak i b są prawdziwe, a w pozostałych przypadkach są fałszywe. Przyjrzyjmy się jednak takim zdaniom:

1. Jan uderzył się w głowę i upadł.

2. Jan upadł i uderzył się w głowę.

Pierwsze z nich mówi, że Jan uderzył się w głowę, a następnie upadł. Drugie zaś mówi, że Jan najpierw upadł, a potem