Gabinet matematycznych zagadek część II ebook

Kiedy miałem czternaście lat, zacząłem zbierać matematyczne ciekawostki. Robię to już od niemal pół wieku, a moja kolekcja dawno przestała się mieścić w jednym zeszycie. Kiedy więc wydawca zaproponował opracowanie wyboru matematycznych rozmaitości, materiału mi nie brakowało. W efekcie powstał Gabinet matematycznych zagadek.

Książka ukazała się w 2008 roku, a wraz ze zbliżającym się Bożym Narodzeniem pokonała prawo grawitacji. A może zaczęła przestrzegać prawa lewitacji. W każdym razie w drugi dzień świąt wskoczyła na 16. miejsce znanej krajowej listy bestsellerów, a pod koniec stycznia wspięła się na miejsce 6. Matematyczny poradnik znalazł się w towarzystwie książek Stephenie Meyer, Baracka Obamy, Jamiego Olivera i Paula McKenny.

Było to oczywiście zupełnie niemożliwe: wszyscy wiedzą, że nie ma aż tylu ludzi interesujących się matematyką. Albo moi krewni kupowali mnóstwo egzemplarzy, albo trzeba by zrewidować tę mądrość ludową. A potem dostałem e-mail od wydawcy z pytaniem, czy są jakieś perspektywy na kontynuację, i pomyślałem sobie: „Mój nagle słynny gabinet nadal pęka w szwach od smakowitych kąsków, więc czemu nie?”. Druga część Gabinetu matematycznych zagadek wyszła z mroków szuflad na jasne światło dnia.

Gabinet. Część II to właśnie to, czego wam trzeba, by umilić sobie czas na bezludnej wyspie. Tak jak w przypadku poprzedniej książki możecie zacząć w dowolnym miejscu. Właściwie można by je obie połączyć i nadal rozpocząć lekturę, gdzie się chce. Sposoby czytania, jak stwierdziłem wcześniej i co z całą stanowczością podtrzymuję, powinny być różnorodne. Nie muszą trzymać się żadnego ustalonego, logicznego porządku. Wręcz nie powinny, chociażby dlatego, że takiego porządku nie ma. Jeśli chcę umieścić zagadkę wymyśloną ponoć przez Euklidesa między historyjką o skandynawskich królach grających o pewną wyspę w kości a obliczeniem prawdopodobieństwa, że małpy wystukają losowo na maszynie wszystkie dzieła Szekspira, to dlaczego by nie?

Żyjemy w świecie, w którym coraz trudniej znaleźć czas na systematyczne analizowanie długich i skomplikowanych wywodów. To jednak nadal najlepszy sposób na to, by pozostać dobrze poinformowanym – i wcale go nie kwestionuję. Sam nawet próbuję go stosować, o ile świat mi pozwala. Kiedy jednak taka naukowa metoda nie skutkuje, istnieje alternatywa, w przypadku której wystarczy zaledwie parę minut „z doskoku”. Najwyraźniej wielu z was przypadła ona do gustu, stąd więc odsłona druga. Jak powiedział pewien dziennikarz radiowy o Gabinecie matematycznych zagadek (życzliwie, jak sądzę): „To chyba idealna książka do czytania w toalecie”. Chociaż Avril i ja staramy się jednak nie zostawiać tam książek, bo nie chcemy o pierwszej w nocy wyciągać z łazienki gościa, który nie może się oderwać od Wojny ipokoju. I nie chcemy ryzykować, że sami tam utkniemy.

Dziennikarz miał jednak rację. Gabinet. Część II, tak jak jego poprzednik, to idealna książka do pociągu, samolotu czy na plażę. Albo do przeglądania w drugi dzień świąt Bożego Narodzenia, w sam raz jako przerywnik między meczem a serialem.

Gabinet ma być zabawą, nie pracą. To nie egzamin, nie znajdziecie tu okienek do zaznaczania odpowiedzi. Nie musicie się przygotowywać. Po prostu zabierzcie się do lektury.

Niektóre problemy w naturalny sposób układają się w spójne sekwencje, więc umieściłem je obok siebie, a przedstawione wcześniej zagadnienia czasem rzucają światło na te późniejsze. Jeśli więc natkniecie się na terminy, które nie są wyjaśnione, to prawdopodobnie omówiłem je wcześniej. Chyba że uznałem, iż nie wymagają wyjaśnienia, albo o nich zapomniałem. Przerzućcie szybko poprzednie strony, szukając oświecenia. Jeśli będziecie mieć szczęście, może je nawet znajdziecie.

Kiedy grzebałem w moim archiwum, wybierając nowe materiały do Gabinetu, podzieliłem – na własny użytek – jego zawartość według różnych kategorii: zagadki, gry, modne słówka, humoreski, najczęściej zadawane pytania, anegdoty, wyliczanki, niesamowitości, faktoidy (niesprawdzone informacje spopularyzowane przez media), żarty, ciekawostki, paradoksy, folklor, tajemnice itd. Zagadki zostały pogrupowane w podkategorie (tradycyjne, logiczne, geometryczne, liczbowe itd.), a wiele kategorii częściowo pokryło się ze sobą. Myślałem o tym, żeby dołączyć do haseł symbole pokazujące, co jest czym, ale byłoby ich za dużo. Parę wskazówek może się jednak przydać.

Zagadki można łatwo odróżnić od większości innych haseł, bo na końcu mają odnośnik do rozwiązania: „Odpowiedź na stronie...”. Niektóre są trudniejsze od pozostałych, ale żadna nie jest szczególnie skomplikowana. Odpowiedź warto przeczytać, nawet – czy raczej zwłaszcza – jeśli nie bierzecie się z problemem za bary. Bardziej jednak docenicie rozwiązanie, jeśli najpierw spróbujecie je samodzielnie znaleźć, nieważne, jak szybko się poddacie. Niektóre zagadki są wplecione w dłuższe opowieści; nie znaczy to, że są one trudniejsze, a jedynie że lubię opowiadać historie.

Prawie wszystkie zagadnienia okażą się przystępne dla każdego, kto zajmował się trochę matematyką w szkole i nadal się nią interesuje. Najczęściej zadawane pytania dotyczą właśnie rzeczy, których uczyliśmy się na lekcjach. Dlaczego ułamki zwykłe dodajemy inaczej, niż je mnożymy? Jaką wartość ma ułamek okresowy 0,(9)? Ludzie często zadają takie pytania, a ta książka wydała mi się dobrą okazją, by wyjaśnić, co za nimi stoi. To zaś nie zawsze okazuje się tym, czego można by się spodziewać, a w jednym przypadku – nie tym, czego ja się spodziewałem, kiedy zaczynałem pisać na ten temat, a traf chciał, że dostałem e-mail, dzięki któremu zmieniłem zdanie.

Szkolna matematyka stanowi jednak tylko drobną cząstkę znacznie większego przedsięwzięcia, obejmującego swym zasięgiem tysiąclecia kultury człowieka oraz całą planetę. Matematyka ma podstawowe znaczenie właściwie dla wszystkiego, co wpływa na nasze życie – od telefonów komórkowych i medycyny po przeciwdziałanie zmianom klimatycznym – i rozwija się szybciej niż kiedykolwiek wcześniej. Ale zwykle odbywa się to za kulisami, więc łatwo założyć, że nie dzieje się wcale. Dlatego teraz poświęciłem nieco więcej miejsca dziwnym lub niezwykłym zastosowaniom matematyki, zarówno w życiu codziennym, jak i w najnowszej nauce. Nieco mniej natomiast – wielkim problemom czystej matematyki, głównie dlatego, że w Gabinecie omówiłem kilka tych naprawdę smakowitych.

Znajdziecie tu bardzo różne zagadnienia, od obliczania pola powierzchni strusiego jaja po problem zagadkowej przewagi materii nad antymaterią tuż po Wielkim Wybuchu. Wyjaśnię także kilka kwestii historycznych, jak cyfry babilońskie, liczydło i egipskie ułamki. Historia matematyki liczy sobie co najmniej 5000 lat, a odkrycia dokonane w dalekiej przeszłości są do dziś istotne, bo rozwój tej dziedziny opiera się na jej dawnych sukcesach.

Niektóre hasła są dłuższe od pozostałych – to minieseje na ważne tematy, o których mogliście usłyszeć w wiadomościach, jak czwarty wymiar, symetria czy wywracanie sfery na drugą stronę. Te zagadnienia nie tyle wykraczają poza szkolną matematykę, ile idą w zupełnie innym kierunku. W matematyce kryje się znacznie więcej, niż większości z nas się wydaje. Wyjaśniam także parę kwestii technicznych w uwagach, które znajdziecie wśród odpowiedzi. Uznałem, że są to sprawy, o których trzeba napisać i które jednocześnie czytelnik może łatwo pominąć. W odpowiednich miejscach zamieściłem odnośniki do Gabinetu.

Czasem możecie się natknąć na skomplikowanie wyglądający wzór – chociaż większość z nich została zepchnięta do uwag na końcu książki. Jeśli nie cierpicie wzorów, pomińcie te fragmenty. Zamieściłem je tu po to, by pokazać wam, jak wyglądają, a nie dlatego, że będziecie musieli zaliczyć test. Niektórzy z nas lubią wzory – mogą one być bardzo ładne, chociaż przyznam, że potrzeba czasu, aby się w nich rozsmakować. Nie chciałem wymigiwać się od podawania kluczowych szczegółów; coś takiego strasznie mnie irytuje, jak te programy telewizyjne, w których trują o tym, jak fascynujące jest jakieś odkrycie, ale w końcu nie mówią, na czym ono właściwie polega.

Mimo dość przypadkowego układu tematycznego drugiej części Gabinetu prawdopodobnie najlepiej czytać go w najprostszy sposób: zacząć od pierwszej strony i przesuwać się w kierunku ostatniej. W ten sposób nie ryzykujecie, że przeczytacie tę samą stronę sześć razy, pomijając coś znacznie ciekawszego. Nie powinniście jednak się krępować i od razu przechodzić do następnego hasła, kiedy tylko poczujecie, że pomyłkowo zawędrowaliście do niewłaściwej szuflady.

Nie jest to jedyna możliwa metoda lektury. Przez znaczną część swojego życia zawodowego czytałem książki matematyczne, zaczynając od końca i wertując strony do początku, aż znalazłem coś, co wyglądało interesująco. Następnie cofałem się jeszcze bliżej początku, aż znalazłem wyjaśnienie specjalistycznych terminów, podstawowych dla zrozumienia danego zagadnienia, a potem czytałem już w normalnym kierunku, od przodu do tyłu, żeby się dowiedzieć, o co tak naprawdę chodzi.

Mnie to odpowiada. Wy możecie woleć bardziej konwencjonalne podejście.

Ian Stewart

Coventry, kwiecień 2009

Weź kalkulator i wykonaj działania:

(8 × 8) + 13

(8 × 88) + 13

(8 × 888) + 13

(8 × 8888) + 13

(8 × 88888) + 13

(8 × 888888) + 13

(8 × 8888888) + 13

(8 × 88888888) + 13

[ Sprawdź odpowiedź ]

Niektóre cyfry do góry nogami wyglądają (prawie) tak samo: 0, I, 8. Dwie inne mają taką właściwość, że jedna po odwróceniu zmienia się w drugą: 6, 9. Pozostałe, czyli 2, 3, 4, 5, 7, wcale nie wyglądają jak cyfry, kiedy się je postawi na głowie. (No owszem, można zapisać 7 z zawijasem i wtedy po odwróceniu będzie wyglądać jak 2, ale proszę tego nie robić). Rok I69I po odwróceniu do góry nogami odczytamy tak samo – nadal jako rok I69I.

Który rok z już minionych był ostatnim mającym taką właściwość?

Który rok w przyszłości będzie następnym mającym taką właściwość?

[ Sprawdź odpowiedź ]

Jednym z wielkich matematyków starożytnych Indii był Bhaskara, „Nauczyciel”, który urodził się w 1114 roku. Właściwie był astronomem: w jego kulturze matematyka stanowiła przede wszystkim narzędzie astronomii, nie była odrębną dyscypliną. Do najsłynniejszych dzieł Bhaskary należy Lilavati. Wiąże się z nim taka oto historia.

Według Fyziego, nadwornego poety władcy Mogołów Akbara, Lilavati była córką Bhaskary. Była to panna na wydaniu, więc Bhaskara postawił jej horoskop, żeby ustalić najbardziej pomyślną datę ślubu. (Jeszcze w epoce renesansu wielu matematyków zarabiało na życie, sporządzając horoskopy). Bhaskara, który najwyraźniej był też trochę showmanem, wpadł, jak mniemał, na znakomity pomysł, jak dodać swej prognozie dramatyzmu. Wywiercił otwór w czarce, którą włożył do misy z wodą – naczynie miało zatonąć, kiedy nadejdzie właściwy moment.

Niestety, niecierpliwa Lilavati wciąż pochylała się nad misą w nadziei, że czarka zatonie. Z jej sukni odczepiła się perła, wpadła do czarki i zablokowała otwór. Naczynie więc nie zatonęło, a biedna Lilavati nigdy nie wyszła za mąż.

Żeby pocieszyć córkę, Bhaskara napisał dla niej podręcznik matematyki.

No dzięki, tato.

Z szesnastu zapałek ułożono pięć identycznych kwadratów.

Przekładając dokładnie dwie zapałki, zmniejsz liczbę kwadratów do czterech. Trzeba wykorzystać wszystkie zapałki, a każda powinna stanowić część jednego z kwadratów. Wszystkie kwadraty muszą być tej samej wielkości.

[ Sprawdź odpowiedź ]

Słonie zawsze noszą różowe spodnie.

Każde stworzenie jedzące miód potrafi grać na kobzie.

Wszystko, co łatwo połknąć, je miód.

Żadne stworzenie noszące różowe spodnie nie potrafi grać na kobzie.

Zatem:

Słonie łatwo połknąć.

Czy ta dedukcja jest prawidłowa, czy nie?

[ Sprawdź odpowiedź ]