Mechanika kwantowa. Teoretyczne minimum ebook

Tytuł oryginału

QUANTUM MECHANICS

The Theoretical Minimum

Copyright © 2014 by Leonard Susskind and Art Friedman

All rights reserved

Projekt okładki

Zbigniew Larwa

Redaktor prowadzący

Adrian Markowski

Redakcja

Anna Kaniewska

Korekta

Bronisława Dziedzic-Wesołowska

ISBN 978-83-8097-429-6

Warszawa 2016

Wydawca

Prószyński Media Sp. z o.o.

02-697 Warszawa, ul. Rzymowskiego 28

www.proszynski.pl

Dla naszych rodziców,

dzięki którym wszystko to stało się możliwe:

Irene i Benjamina Susskindów

oraz

George’a i Trudy Friedmanów

PRZEDMOWA

Albert Einstein, którego z wielu powodów można nazwać ojcem mechaniki kwantowej, miał do niej specyficzny stosunek, będący mieszanką miłości i nienawiści. Jego dyskusje z Nielsem Bohrem, w których Bohr prezentował całkowitą akceptację mechaniki kwantowej, a Einstein pozostawał względem niej głęboko sceptyczny, należą do najsłynniejszych dysput w historii nauki. Większość fizyków uznała, że w tym sporze zwyciężył Bohr, a Einstein przegrał. Moim zdaniem podzielanym, jak sądzę, przez coraz większą grupę uczonych, takie podsumowanie nie oddaje sprawiedliwości poglądom Einsteina.

Obydwaj dyskutanci odznaczali się dużą wnikliwością. Einstein próbował z całych sił wykazać, że mechanika kwantowa jest niespójna, a Bohr po kolei odpierał wszystkie jego argumenty. W końcu jednak Einstein wskazał problem tak głęboki, tak dalece sprzeczny z intuicją, budzący tak wiele zastrzeżeń, a jednocześnie tak fascynujący, że na początku XXI wieku na nowo zaczął zajmować fizyków teoretycznych. Jedyną odpowiedzią Bohra na ostatnie wielkie odkrycie Einsteina – splątanie – było milczenie.

Zjawisko splątania to fundamentalny aspekt mechaniki kwantowej, sprawiający, że tak bardzo różni się ona od fizyki klasycznej. Stawia ono pod znakiem zapytania całe nasze rozumienie tego, co w fizycznym świecie jest rzeczywiste. Zwyczajna intuicja dotycząca układów fizycznych mówi nam, że jeśli o jakimś układzie wiemy wszystko – to znaczy wszystko, czego w teorii można się o nim dowiedzieć – to wiemy też wszystko o jego częściach. Jeśli posiadamy pełną informację o stanie samochodu, to wiemy również wszystko o jego kołach, silniku, skrzyni biegów, a nawet o śrubach mocujących tapicerkę. Jeśli mechanik stwierdziłby: „Wiem wszystko o pana samochodzie, ale niestety nie umiem nic powiedzieć o żadnej z jego części”, uznalibyśmy jego słowa za pozbawione sensu.

A jednak właśnie na coś takiego Einstein zwrócił uwagę Bohrowi: w mechanice kwantowej można wiedzieć wszystko o pewnym układzie i jednocześnie nie mieć żadnej wiedzy o jego pojedynczych częściach. Bohr nie docenił wagi tego stwierdzenia. Mógłbym dodać, że zignorowało je również kilka pokoleń autorów podręczników do fizyki kwantowej.

Każdy wie, że mechanika kwantowa ma w sobie coś dziwnego, ale myślę, że bardzo nieliczni ludzie potrafiliby wyjaśnić, na czym właściwie ta dziwność polega. Ta książka to niestroniący od szczegółów technicznych cykl wykładów o mechanice kwantowej, ale różni się ona istotnie od większości innych wykładów czy podręczników. Skoncentrujemy się w niej na logicznych zasadach teorii kwantowej, a naszym celem nie będzie ukrycie niezwykłej dziwaczności kwantowej logiki, ale raczej czytelne jej przedstawienie.

Chciałbym ci przypomnieć, że ta książka to jeden z tomów serii blisko związanej z moim internetowym cyklem wykładów „Teoretyczne minimum”. Jej współautor, Art Friedman, był słuchaczem tych wykładów. Nasza książka niewątpliwie zyskała na tym, że Art sam uczył się omawianej w niej teorii i w związku z tym bardzo uważnie wyłapywał kwestie, które mogłyby się okazać niejasne dla początkującego czytelnika. Pisanie jej sprawiło nam wiele uciechy. Staraliśmy się podzielić tą przyjemnością z czytelnikami, umieszczając w tekście sporo żartów. Jeśli cię nie rozśmieszą, po prostu je zignoruj.

Leonard Susskind

Kiedy kończyłem magisterskie studia informatyczne na Uniwersytecie Stanforda, nawet przez chwilę nie myślałem, że jakiś czas później wrócę tam, by słuchać wygłaszanych przez Leonarda wykładów z fizyki. Moja krótka „kariera” fizyka skończyła się wiele lat wcześniej na zdobyciu licencjatu. Zainteresowanie przedmiotem jednak nigdy nie zanikło.

Wygląda na to, że nie jestem w tym osamotniony – na świecie jest pełno ludzi, których naprawdę fascynuje fizyka, ale okoliczności nie pozwoliły im zajmować się nią zawodowo. Ta książka powstała właśnie z myślą o takich jak my.

Mechanikę kwantową można – do pewnego stopnia – docenić na czysto jakościowym, koncepcyjnym poziomie, ale to matematyka sprawia, że jej piękno staje się w pełni widoczne. Staraliśmy się, by przedstawić tę wspaniałą, bogatą teorię w sposób przystępny dla ludzi niezajmujących się zawodowo fizyką, ale mających pewne przygotowanie matematyczne. Myślę, że udało się nam to całkiem nieźle. Mam nadzieję, że się zgodzicie z tym zdaniem.

Nikomu nie udało się zakończyć pracy nad podobnym projektem bez pomocy innych. Pomoc ekipy z Brockman.Inc. zapewniła, że wszystkie sprawy dotyczące umów (i innych negocjacji biznesowych) zostały załatwione sprawnie i bez kłopotów, a zespół redakcyjny w Perseus Books okazał się najwyższej klasy. Serdecznie dziękuję TJ Kelleherowi, Rachel King i Tisse Takagi. Szczęśliwie przyszło nam też pracować z utalentowanym redaktorem, Johnem Searcym.

Jestem bardzo wdzięczny innym słuchaczom wykładów Leonarda za przemyślane i odważne pytania, które niestrudzenie stawiali, oraz za wiele inspirujących rozmów po zajęciach. Rob Colwell, Todd Craig, Monty Frost i John Nash podzielili się ze mną uwagami po przeczytaniu pierwszej wersji książki. Jeremy Branscome i Russ Bryan przejrzeli ją całą bardzo dokładnie i znaleźli miejsca, które wymagały poprawek.

Dziękuję rodzinie i przyjaciołom za wsparcie i entuzjastyczne nastawienie. Szczególnie dziękuję mojej córce Hannah za wzięcie na siebie różnych obowiązków.

Oprócz miłości, słów zachęty, przenikliwych rad i poczucia humoru wkład mojej wspaniałej żony, Margaret Sloan, do tej książki objął też stworzenie mniej więcej jednej trzeciej wykresów i obydwu ilustracji „U Hilberta”. Dzięki, Maggie.

Na początku pracy nad naszym projektem Leonard, wyczuwając moją prawdziwą motywację, powiedział, że jednym z najlepszych sposobów na uczenie się fizyki jest pisanie o niej. To oczywiście słuszne stwierdzenie, ale nie miałem pojęcia, do jakiego stopnia. Bardzo się cieszę, że mogłem się o tym przekonać. Wielkie dzięki, Leonard.

Art Friedman

PROLOG

Art podnosi głowę znad kufla z piwem i mówi:

– Lenny, zagrajmy rundkę Einsteina–Bohra.

– Dobra, ale mam już dość przegrywania. Tym razem ty będziesz Artsteinem, a ja L-Bohrem. Zaczynasz.

– W porządku. Na początek zaatakuję tak: Bóg nie gra w kości. Ha ha, panie L-Bohr, punkt dla mnie.

– Nie tak szybko, panie Artstein, nie tak szybko. To pan, przyjacielu, pierwszy zwrócił uwagę na probabilistyczną naturę teorii kwantowej. I co, to chyba zasługuje na dwa punkty!

– Cóż. Cofam swoją wypowiedź.

– Nie może pan jej cofnąć.

– Ależ mogę!

Niewielu ludzi zdaje sobie sprawę, że Einstein w napisanym w 1917 roku artykule O kwantowej teorii promieniowania twierdził, iż emisja promieniowania gamma podlega prawom statystycznym.

PROFESOR I SKRZYPEK WCHODZĄ DO BARU

Pierwszy tom zawierał przerywniki opisujące krótkie rozmowy między Lennym i George’em, dwiema fikcyjnymi postaciami kojarzącymi się z bohaterami powieści Johna Steinbecka. Analogiczne fragmenty tej książki są inspirowane opowiadaniami Damona Runyona opisującymi świat zaludniony przez oszustów, kombinatorów, degeneratów, cwaniaczków, którzy potrafią wyjść obronną ręką z każdej sytuacji, oraz naiwniaków na siłę próbujących zbawić świat. Oprócz nich pojawia się oczywiście kilku zwykłych ludzi próbujących jakoś przeżyć z dnia na dzień. Akcja rozwija się przede wszystkim w popularnym barze, zwanym „U Hilberta”. Pewnego dnia wchodzą do niego Lenny i Art, dwóch żółtodziobów z Kalifornii, którzy odłączyli się od swojej wycieczki. Życz im szczęścia. Będzie potrzebne.

CO ZE SOBĄ ZABRAĆ?

Aby wybrać się w tę podróż, nie musicie być fizykami, ale powinniście znać podstawy rachunku różniczkowego i algebry liniowej. Dobrze by też było, gdybyście wiedzieli coś o materiale wyłożonym w pierwszym tomie. Nie przejmujcie się, jeśli dawno nie mieliście do czynienia z matematyką. W trakcie wykładu będziemy poświęcać sporo czasu na przypominanie i wyjaśnianie potrzebnego materiału, zwłaszcza z zakresu algebry liniowej. Pierwszy tom zawierał przegląd podstaw rachunku różniczkowego.

Może wam się wydawać, że nasz żartobliwy ton oznacza, iż nie zależy nam na precyzji. To nie tak. Naszym celem jest sprawienie, aby trudny temat stał się „tak prosty, jak tylko to możliwe, ale nie prostszy”. Mamy nadzieję, że przy okazji nie będziemy się nudzić. Do zobaczenia „U Hilberta”.

WSTĘP

Mechanika klasyczna zgadza się z naszą intuicją: obiekty poruszają się tak, jak się tego spodziewamy. Doświadczony gracz futbolu amerykańskiego może zerknąć na lecącą piłkę i na podstawie jej położenia i prędkości stwierdzić, dokąd powinien pobiec, by ją w odpowiednim momencie złapać. Oczywiście nagły nieoczekiwany podmuch wiatru może pokrzyżować mu plany, ale stałoby się tak tylko dlatego, że nie wziął pod uwagę wszystkich istotnych zmiennych. Przyczyna, dla której mechanika klasyczna zgadza się z naszą intuicją, jest oczywista: ludzie, a przed nimi zwierzęta, wykorzystywali ją wielokrotnie każdego dnia, by przeżyć. Natomiast nikt przed XX wiekiem nie używał mechaniki kwantowej. Opisuje ona obiekty tak malutkie, że pozostające całkowicie poza zasięgiem ludzkich zmysłów. Wydaje się więc rozsądne, że ewolucja nie wyposażyła nas w intuicję praktyczną w świecie kwantowym. Jedyny sposób, na jaki możemy go zrozumieć, to dostarczenie naszym umysłom narzędzi w postaci matematyki abstrakcyjnej. Na szczęście, z pewnych dziwacznych powodów, ewolucja sprawiła, że potrafimy się nimi posługiwać.

Zwykle na początku, zanim nawet usłyszymy o mechanice kwantowej, uczymy się mechaniki klasycznej. Fizyka kwantowa jest jednak dużo bardziej fundamentalna niż fizyka klasyczna. Zgodnie z naszym stanem wiedzy mechanika kwantowa podaje dokładny opis każdego układu fizycznego. Niektóre układy są na tyle duże, że mechanikę kwantową można rozsądnie przybliżać mechaniką klasyczną. Tak naprawdę mechanika klasyczna jest właśnie tym: przybliżeniem. Z logicznego punktu widzenia należałoby najpierw uczyć się mechaniki kwantowej, ale większość nauczycieli fizyki odradza takie podejście. Nawet ten cykl wykładów – seria „Teoretyczne minimum” – zaczął się od mechaniki klasycznej. Mimo to w naszych kwantowych wykładach mechanika klasyczna nie będzie odgrywała praktycznie żadnej roli, nie licząc samego końca, kiedy to podstawowe zasady mechaniki kwantowej będą już dobrze wyjaśnione. Myślę, że to naprawdę właściwe podejście, nie tylko z logicznego, lecz także z pedagogicznego punktu widzenia. W ten sposób nie grozi nam wpadnięcie w pułapkę myślenia, że mechanika kwantowa to w zasadzie tylko mechanika klasyczna plus kilka nowych sztuczek. Przy okazji warto zauważyć, że mechanika kwantowa jest technicznie znacznie prostsza niż mechanika klasyczna.

Najprostszy układ klasyczny – elementarna jednostka logiczna w informatyce – to układ o dwóch stanach. Czasami nazywa się go bitem. Może on przedstawiać dowolny obiekt mający dwa możliwe stany: monetę, która będzie pokazywać orła bądź reszkę, włączony albo wyłączony przełącznik, albo maleńki magnesik, który może być skierowany tylko na północ bądź na południe. Jak się pewnie domyślasz, zwłaszcza jeśli przestudiowałeś pierwszy wykład pierwszego tomu, teoria klasycznych układów o dwóch stanach jest wyjątkowo prosta – można nawet powiedzieć nudna. W tej książce zaczniemy rozważania od kwantowego odpowiednika układu o dwóch stanach, zwanego kubitem, który jest dużo bardziej interesujący. Aby go zrozumieć, będziemy potrzebować całkowicie nowego sposobu myślenia – nowych podstaw logiki.

PEŁNY SPIS TREŚCI

PRZEDMOWA

PROLOG

PROFESOR I SKRZYPEK WCHODZĄ DO BARU

CO ZE SOBĄ ZABRAĆ?

WSTĘP

WYKŁAD 1.Układy i doświadczenia

1.1 MECHANIKA KWANTOWA JEST INNA

1.2 SPINY I KUBITY

1.3 EKSPERYMENT

1.4 EKSPERYMENTY NIGDY NIE SĄ DELIKATNE

1.5 ZDANIA LOGICZNE

1.6 TESTOWANIE ZDAŃ KLASYCZNYCH

1.7 TESTOWANIE ZDAŃ KWANTOWYCH

1.8 INTERLUDIUM MATEMATYCZNE – LICZBY ZESPOLONE

1.9 INTERLUDIUM MATEMATYCZNE – PRZESTRZENIE WEKTOROWE

WYKŁAD 2. Stany kwantowe

2.1 STANY I WEKTORY

2.2 PRZEDSTAWIANIE STANÓW SPINU

2.3 WZDŁUŻ OSI X

2.4 WZDŁUŻ OSI Y

2.5 LICZENIE PARAMETRÓW

2.6 REPREZENTACJA STANÓW SPINOWYCH ZA POMOCĄ WEKTORÓW KOLUMNOWYCH

2.7 PODSUMOWANIE

WYKŁAD 3. Zasady mechaniki kwantowej

3.1 INTERLUDIUM MATEMATYCZNE – OPERATORY LINIOWE

3.2 ZASADY MECHANIKI KWANTOWEJ

3.3 PRZYKŁAD: OPERATORY SPINU

3.4 KONSTRUKCJA OPERATORÓW SPINU

3.5 CZĘSTO SPOTYKANA POMYŁKA

3.6 JESZCZE RAZ O OPERATORACH 3-WEKTOROWYCH

3.7 ZBIERANIE NAUKOWYCH OWOCÓW

3.8 REGUŁA POLARYZACJI SPINU

WYKŁAD 4. Czas i zmiana

4.1 PRZYPOMNIENIE WERSJI KLASYCZNEJ

4.2 UNITARNOŚĆ

4.3 DETERMINIZM W MECHANICE KWANTOWEJ

4.4 PRZYJRZYJMY SIĘ BLIŻEJ U(T)

4.5 HAMILTONIAN

4.6 CO SIĘ STAŁO Z ?

4.7 WARTOŚCI OCZEKIWANE

4.8 POMINIĘCIE CZYNNIKA FAZOWEGO

4.9 ZWIĄZKI Z MECHANIKĄ KLASYCZNĄ

4.10 ZASADA ZACHOWANIA ENERGII

4.11 SPIN W POLU MAGNETYCZNYM

4.12 ROZWIĄZYWANIE RÓWNANIA SCHRÖDINGERA

4.13 PRZEPIS NA KET(A) SCHRÖDINGERA

4.14 KOLAPS

WYKŁAD 5. Nieoznaczoność i zależność od czasu

5.1 INTERLUDIUM MATEMATYCZNE – ZBIORY ZUPEŁNE KOMUTUJĄCYCH OBSERWABLI

5.2 POMIAR

5.3 ZASADA NIEOZNACZONOŚCI

5.4 SENS NIEOZNACZONOŚCI

5.5 NIERÓWNOŚĆ CAUCHY’EGO–SCHWARZA

5.6 NIERÓWNOŚĆ TRÓJKĄTA I NIERÓWNOŚĆ CAUCHY’EGO–SCHWARZA

5.7 OGÓLNA ZASADA NIEOZNACZONOŚCI

WYKŁAD 6. Łączenie układów ze sobą: splątanie

6.1 INTERLUDIUM MATEMATYCZNE – ILOCZYNY TENSOROWE

6.2 KLASYCZNE KORELACJE

6.3 ŁĄCZENIE UKŁADÓW KWANTOWYCH ZE SOBĄ

6.4 DWA SPINY

6.5 STANY PRODUKTOWE

6.6 ZLICZANIE PARAMETRÓW DLA STANÓW PRODUKTOWYCH

6.7 STANY SPLĄTANE

6.8 OBSERWABLE ALICE I BOBA

6.9 OBSERWABLE ZŁOŻONE

WYKŁAD 7. Bardziej szczegółowo o splątaniu

7.1 INTERLUDIUM MATEMATYCZNE – ILOCZYNY TENSOROWE W POSTACI ZALEŻNEJ OD KONKRETNYCH WSPÓŁRZĘDNYCH

7.2 INTERLUDIUM MATEMATYCZNE – ILOCZYNY ZEWNĘTRZNE

7.3 MACIERZE GĘSTOŚCI: NOWE NARZĘDZIE

7.4 SPLĄTANIE I MACIERZE GĘSTOŚCI

7.5 SPLĄTANIE DLA DWÓCH SPINÓW

7.6 KONKRETNY PRZYKŁAD: OBLICZANIE MACIERZY GĘSTOŚCI ALICE

7.7 TESTY NA SPLĄTANIE

7.8 PROCES POMIARU

7.9 SPLĄTANIE I LOKALNOŚĆ

7.10 KWANTOWY SYMULATOR: WPROWADZENIE DO TWIERDZENIA BELLA

7.11 PODSUMOWANIE WIADOMOŚCI O SPLĄTANIU

WYKŁAD 8. Cząstki i fale

8.1 INTERLUDIUM MATEMATYCZNE – WŁASNOŚCI FUNKCJI CIĄGŁYCH

8.2 STAN CZĄSTKI

8.3 TRANSFORMATA FOURIERA I BAZA PĘDU

8.4 KOMUTATORY I NAWIASY POISSONA

8.5 ZASADA NIEOZNACZONOŚCI HEISENBERGA

WYKŁAD 9. Dynamika cząstek

9.1 PROSTY PRZYKŁAD

9.2 NIERELATYWISTYCZNE CZĄSTKI SWOBODNE

9.3 RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU

9.4 PRĘDKOŚĆ I PĘD

9.5 KWANTYZACJA

9.6 SIŁY

9.7 RUCH PO PROSTEJ I GRANICA KLASYCZNA

9.8 CAŁKI PO TRAJEKTORIACH

WYKŁAD 10. Oscylator harmoniczny

10.1 OPIS KLASYCZNY

10.2 OPIS KWANTOWOMECHANICZNY

10.3 RÓWNANIE SCHRÖDINGERA

10.4 POZIOMY ENERGETYCZNE

10.5 STAN PODSTAWOWY

10.6 OPERATORY ANIHILACJI I KREACJI

10.7 Z POWROTEM DO FUNKCJI FALOWYCH

10.8 FUNDAMENTALNA ROLA KWANTYZACJI

DODATEK

MACIERZE PAULIEGO

DZIAŁANIE OPERATORÓW SPINU

ZMIANA BAZY

SKŁADOWA SPINU W KIERUNKU

TABELKI MNOŻENIA OPERATORÓW SPINU