Wydawca: Albatros Kategoria: Dla dzieci i młodzieży Język: polski Rok wydania: 2013

Uzyskaj dostęp do tej
i ponad 20000 książek
od 6,99 zł miesięcznie.

Wypróbuj przez
7 dni za darmo

Ebooka przeczytasz w aplikacjach Legimi na:

e-czytniku (w tym Kindle) kup za 1 zł
tablecie  
smartfonie  
komputerze  
Czytaj w chmurze®
w aplikacjach Legimi.
Dlaczego warto?
Czytaj i słuchaj w chmurze®
w aplikacjach Legimi.
Dlaczego warto?
Liczba stron: 574 Przeczytaj fragment ebooka

Odsłuch ebooka (TTS) dostępny w abonamencie „ebooki+audiobooki bez limitu” w aplikacji Legimi na:

Androida
iOS
Czytaj i słuchaj w chmurze®
w aplikacjach Legimi.
Dlaczego warto?

Ebooka przeczytasz na:

Kindlu MOBI
e-czytniku EPUB
tablecie EPUB
smartfonie EPUB
komputerze EPUB
Czytaj w chmurze®
w aplikacjach Legimi.
Dlaczego warto?
Czytaj i słuchaj w chmurze®
w aplikacjach Legimi.
Dlaczego warto?
Zabezpieczenie: watermark Przeczytaj fragment ebooka

Opis ebooka Przygody Alexa w Krainie Liczb - Alex Bellos

Świat matematyki może wydawać się niepojęty, nieistotny i – spójrzmy prawdzie w oczy – nudny. Ta nowatorska książka pokazuje, że matematyka jest nie tylko dla matematyków. Idee matematyczne leżą u podstaw chyba wszystkiego w naszym życiu: od prostego liczenia owiec do wykorzystania teorii prawdopodobieństwa, by wygrać majątek w kasynie. W poszukiwaniu dziwnych i cudownych zjawisk matematycznych Alex Bellos podróżuje po całej kuli ziemskiej, spotykając najszybszych na świecie rachmistrzów pamięciowych w Niemczech i zadziwiająco biegłego w liczeniu szympansa w Japonii. Pełne fascynujących, otwierających oczy anegdot Przygody Alexa w Krainie Liczb to porywający koktajl historii, reportażu i dowodów matematycznych, który pozostawi czytelnika wręcz oniemiałego z wrażenia. Książka skierowana jest do czytelnika bez wiedzy matematycznej – obejmuje materiał od poziomu szkoły podstawowej do pojęć nauczanych dopiero pod koniec studiów. Autor przekazuje w niej radość i zachwyt towarzyszące odkrywaniu matematyki (także to, że matematycy nierzadko bywają zabawni). Pokazuje, że jest dziedziną inspirującą, przystępną, a nade wszystko fantastycznie twórczą. Nie bez powodu abstrakcyjne myślenie matematyczne uważa się za jedno z największych osiągnięć rasy ludzkiej, za podstawę wszelkiego postępu.

Opinie o ebooku Przygody Alexa w Krainie Liczb - Alex Bellos

Cytaty z ebooka Przygody Alexa w Krainie Liczb - Alex Bellos

System dwunastkowy ma 12 cyfr: od 0 do 9 oraz dodatkowe oznaczające 10 i 11. Standardowy zapis cyfr „pozadziesiętnych” to i . Do 12 liczy się więc tak: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, , , 10. Nowym pojedynczym cyfrom trzeba było nadać nowe nazwy, i tak to dek , a – el . Poza tym na 10 mówi się do , od skróconego słowa dozen , czyli „tuzin”, by uniknąć pomyłki z 10 w systemie dziesiętnym. Licząc w górę od do w systemie dwunastkowym, czyli tuzinowym, mamy do one , czyli 11, do two – 12, do three – 13 i tak dalej aż do twodo oznaczającego 20 (resztę liczb możesz zobaczyć obok).
Babilończycy, którzy osiągnęli ogromny postęp w matematyce i astronomii, przyjęli sumeryjski system sześćdziesiątkowy, później zaś Egipcjanie, a za nimi Grecy wypracowali metody liczenia czasu, wzorując się na sposobie babilońskim – dlatego w dalszym ciągu minutę dzielimy na 60 sekund, a godzinę na 60 minut. Tak bardzo przywykliśmy do określania czasu w systemie sześćdziesiątkowym, że nigdy go nie kwestionujemy, choć wcale nie jest to oczywiste. Rewolucyjna Francja chciała pozbyć się tej niespójności z systemem dziesiętnym. Konwent Narodowy, wprowadzając w 1793 roku metryczny system miar i wag, próbował narzucić dziesiętny system czasu. Podpisano dekret stanowiący, że dzień dzielić się będzie na 10 godzin po 100 minut, a minuta liczyć będzie 100 sekund. Wyszło dość zgrabnie – dzień miał 100 000 sekund zamiast 86 400 (60 · 60 · 24). Rewolucyjna sekunda była zatem odrobinę krótsza od zwykłej sekundy. Czas dziesiętny zaczął obowiązywać w 1794 roku, produkowano nawet zegarki z dziesięciogodzinnymi tarczami, takie jak ten pokazany obok. Nowy system okazał się jednak dezorientujący i po pół roku został zarzucony.
Pitagoras dostrzegł w swoich kwadratach kilka fantastycznych regularności. Zauważył, że liczba kamyków w kwadracie o boku 2, czyli 4, była sumą 1 i 3, a liczba kamyków w kwadracie o boku 3, czyli 9, była sumą 1, 3 i 5. Kwadrat o boku 4 miał 16 kamyków, czyli 1 + 3 + 5 + 7. Inaczej mówiąc, kwadratem liczby n jest suma pierwszych n liczb nieparzystych. Łatwo to zobaczyć, gdy przyjrzymy się sposobowi układania kamyków w kwadrat.

Fragment ebooka Przygody Alexa w Krainie Liczb - Alex Bellos

Wydanie elektroniczne

Tytuł oryginału:

ALEX'S ADVENTURES IN NUMBERLAND:

DISPATCHES FROM THE WONDERFUL WORLD OF MATHEMATICS

Copyright © Alex Bellos 2010

All rights reserved

Illustrations copyright © Andy Riley 2010

Polish edition copyright © Wydawnictwo Albatros A. Kuryłowicz 2013

Polish translation copyright © Anna Binder 2013

Redakcja: Maria Białek

Konsultacja naukowa: Danuta Olszewska

Ilustracja na okładce: Galyna Puzyma/Shutterstock

Projekt graficzny okładki: Andrzej Kuryłowicz

ISBN 978-83-7885-091-5

Wydawca

WYDAWNICTWO ALBATROS A. KURYŁOWICZ

Hlonda 2a/25, 02-972 Warszawa

www.wydawnictwoalbatros.com

Niniejszy produkt jest objęty ochroną prawa autorskiego. Uzyskany dostęp upoważnia wyłącznie do prywatnego użytku osobę, która wykupiła prawo dostępu. Wydawca informuje, że publiczne udostępnianie osobom trzecim, nieokreślonym adresatom lub w jakikolwiek inny sposób upowszechnianie, kopiowanie oraz przetwarzanie w technikach cyfrowych lub podobnych – jest nielegalne i podlega właściwym sankcjom.

Skład wersji elektronicznej:

Virtualo Sp. z o.o.

ALEX BELLOS

Brytyjski pisarz, dziennikarz i prezenter telewizyjny. Ukończył matematykę i filozofię na Oksfordzie. W latach 1998–2003 był korespondentem zagranicznym dziennika „The Guardian” w Ameryce Południowej. Plonem tego wyjazdu były dwie książki: reportaż Futebol: the Brazilian Way of Life (nominowana do tytułu „najlepszej książki roku o sporcie”) i Pelé: The Autobiography (bestseller numer 1 w Wielkiej Brytanii), którą napisał anonimowo. Od 2003 współpracuje z BBC: przygotował dla niej serię reportaży Inside Out Brazil, a na antenie telewizyjnej zajmuje się popularyzacją matematyki. W 2010 ukazała się jego głośna książka Przygody Alexa w Krainie Liczb, za którą otrzymał kilka prestiżowych nagród i nominacji do nagród, m.in. Galileo Prize, Peano Prize, Amazon Best Books of 2010 in Science, Galaxy National Book Award.

www.allexbellos.com

Mojej matce i ojcu

Wstęp

Latem 1992 roku pracowałem jako początkujący reporter w „Evening Argus” w Brighton. Obserwowałem nastoletnich recydywistów, którzy stawiali się przed miejscowym sędzią pokoju, przeprowadzałem wywiady ze sklepikarzami na temat recesji i dwa razy w tygodniu aktualizowałem godziny otwarcia kolejki Bluebell na stronie informacyjnej gazety. Nie był to dobry czas dla drobnych złodziejaszków i sklepikarzy, wspominam to jednak jako szczęśliwy okres w moim życiu.

John Major został właśnie ponownie wybrany na premiera i w euforii zwycięstwa ogłosił jedną z najbardziej pamiętnych (i najbardziej obśmianych) inicjatyw politycznych. Z prezydencką powagą zapowiedział utworzenie specjalnej linii telefonicznej do informowania o pachołkach drogowych – serwując tę banalną propozycję w taki sposób, jakby od tego zależała przyszłość świata.

W Brighton jednak problem pachołków był palący. Nie dało się wjechać do miasta, by nie utknąć w robotach drogowych. Główna trasa z Londynu – A23 (M) – zmieniła się w korytarz z rzędem pachołków w pomarańczowe paski na całej długości od Crawley do Preston Park. „Argus” żartem wezwał swoich czytelników, by odgadli liczbę pachołków ustawionych na wielomilowym odcinku A23 (M). Szefostwo gratulowało sobie tak świetnego pomysłu. Konkurs w stylu wiejskiego festynu z jednej strony ilustrował problem, a z drugiej był okazją do ponabijania się z rządu – jednym słowem, idealny materiał dla lokalnej gazety.

Ale już kilka godzin po ogłoszeniu konkursu nadeszła pierwsza poprawna odpowiedź od czytelnika. Pamiętam, jak starsi redaktorzy siedzieli przybici w milczeniu w redakcji informacyjnej, jakby właśnie zmarł jakiś ważny miejscowy radny. Chcieli poużywać sobie na premierze, ale sami wyszli na durniów.

Redaktorzy zakładali, że odgadnięcie liczby pachołków na jakichś 20 milach autostrady będzie zadaniem niewykonalnym. Okazało się inaczej i chyba byłem jedyną osobą w całym budynku, która rozumiała dlaczego. Przyjmując, że pachołki rozstawione są w równych odstępach, wystarczyło wykonać proste obliczenie:

Długość drogi można zmierzyć, pokonując ją samochodem lub sprawdzając na mapie. Do obliczenia odległości między pachołkami wystarczy taśma miernicza. Choć rozstaw pachołków może się nieco wahać, a szacowana długość drogi może być obarczona błędem, to przy dużych odległościach dokładność tego obliczenia jest wystarczająco dobra na użytek konkursów ogłaszanych przez lokalne gazety (zapewne w ten właśnie sposób policja drogowa policzyła wcześniej pachołki, by podać poprawną odpowiedź).

Zapamiętałem to zdarzenie bardzo dobrze, ponieważ wtedy po raz pierwszy w swojej pracy dziennikarskiej doceniłem zalety posiadania umysłu matematycznego. Z niepokojem zdałem sobie również sprawę z tego, jak bardzo „nieliczaci” są dziennikarze. Ustalenie liczby pachołków wzdłuż drogi nie było wcale skomplikowane, ale dla kolegów okazało się za trudne.

W 1990 roku ukończyłem matematykę i filozofię, byłem więc absolwentem nauk ścisłych i humanistycznych. Podjęcie pracy dziennikarza oznaczało, przynajmniej pozornie, rezygnację z pierwszego na rzecz drugiego. Wkrótce po klapie z pachołkami opuściłem „Argusa” i przeniosłem się do pracy w londyńskich gazetach. W końcu zostałem korespondentem zagranicznym w Rio de Janeiro. Od czasu do czasu przydawały mi się zdolności matematyczne, na przykład kiedy trzeba było znaleźć europejskie państwo o powierzchni najbardziej zbliżonej do ostatnio wylesionej połaci amazońskiej dżungli albo obliczyć kursy walut w czasie różnych kryzysów walutowych. Zasadniczo jednak wyglądało na to, że porzuciłem matematykę.

W końcu kilka lat temu wróciłem do Wielkiej Brytanii, nie wiedząc, co chcę dalej robić. Sprzedawałem koszulki brazylijskich piłkarzy, założyłem bloga, zastanawiałem się nad importowaniem owoców tropikalnych. Nic nie wypaliło. Rozważając rozmaite możliwości, zwróciłem się ku dziedzinie, która tak bardzo pochłaniała mnie w młodości, i właśnie w niej znalazłem inspirację do napisania tej książki.

Wejście w świat matematyki w dorosłości różniło się bardzo od doświadczeń z dzieciństwa, kiedy obowiązek zdawania egzaminów sprawia, że pomija się naprawdę ciekawe rzeczy. Teraz mogłem swobodnie zapuszczać się w różne rejony tylko dlatego, że wydawały mi się dziwne i interesujące. Poznałem etnomatematykę, która bada podejście do matematyki w różnych kulturach, dowiedziałem się, jak religia kształtowała matematykę. Zaintrygowały mnie najnowsze badania z zakresu psychologii behawioralnej i neurobiologii, które dociekają, dlaczego i jak właściwie mózg myśli o liczbach.

Zdałem sobie sprawę, że zachowuję się jak korespondent zagraniczny w terenie, tyle tylko że kraj, w którym goszczę, jest abstrakcyjną Krainą Liczb.

Moja podróż wkrótce nabrała wymiaru geograficznego, ponieważ chciałem doświadczać matematyki w rzeczywistym świecie. Poleciałem do Indii, by dowiedzieć się, jak wynaleziono „zero”, jedno z najbardziej przełomowych pojęć w dziejach człowieka. Zarezerwowałem pokój w megakasynie w Reno, by zobaczyć prawdopodobieństwo w akcji. W Japonii zaś spotkałem się z najbieglejszym w matematyce szympansem na świecie.

W trakcie zbierania materiałów znalazłem się w dziwnym położeniu: byłem jednocześnie ekspertem i laikiem. Uczenie się od nowa szkolnej matematyki przypominało poznawanie starych znajomych, ale było też wielu znajomych znajomych, których wcześniej tak naprawdę nie znałem, oraz sporo zupełnie nowych twarzy. Przed napisaniem tej książki nie zdawałem sobie na przykład sprawy z tego, że od stuleci podejmuje się kampanie na rzecz wprowadzenia 2 nowych cyfr do naszego systemu dziesiętnego. Nie wiedziałem, dlaczego Wielka Brytania jako pierwszy kraj na świecie wyemitowała siedmioboczną monetę. Nie miałem też pojęcia o matematyce stojącej za sudoku (bo jeszcze jej nie wynaleziono).

Trafiłem do zaskakujących miejsc, takich jak Braintree w Essex czy Scottsdale w Arizonie, i do zaskakujących zakamarków bibliotek. Nie zapomnę dnia, który spędziłem na lekturze książki o historii rytuałów związanych z roślinami, próbując zrozumieć, dlaczego Pitagoras tak grymasił przy jedzeniu.

Książkę rozpoczynarozdział zerowy, ponieważ w ten sposób chciałem podkreślić, że jego tematem jest pramatematyka. Rozdział ten opowiada o tym, jak pojawiły się liczby. Na początku rozdziału pierwszego mamy już liczby i możemy przejść do rzeczy. Stąd aż do końca jedenastego rozdziału książka obejmuje arytmetykę, algebrę, geometrię, statystykę i tyle innych dziedzin, ile zdołałem upchnąć na około 600 stronach. Starałem się do minimum ograniczać materiał techniczny, ale czasami nie było innego wyjścia i musiałem zamieścić równania i dowody. Jeśli poczujesz, że wysiadają ci szare komórki, przeskocz na początek następnej części, a znów zrobi się łatwiej. Każdy rozdział jest niezależną całością, więc nie trzeba znać poprzednich rozdziałów, by go zrozumieć. Rozdziały można czytać w dowolnej kolejności, choć mam nadzieję, że przeczytasz je od pierwszego do ostatniego, ponieważ z grubsza pokrywają się z chronologią idei i czasem odwołuję się do spraw poruszanych wcześniej. Kieruję tę książkę do czytelnika bez wiedzy matematycznej, obejmuje ona materiał od poziomu szkoły podstawowej do pojęć nauczanych dopiero pod koniec studiów.

Zamieściłem sporo informacji historycznych, ponieważ matematyka jest zarazem historią matematyki. W przeciwieństwie do nauk humanistycznych, które nieustannie definiują siebie na nowo, w których miejsce jednych idei lub mód co i raz zajmują inne, i w odróżnieniu od nauk stosowanych, w których teorie podlegają stałemu doskonaleniu, matematyka się nie starzeje. Twierdzenia Pitagorasa i Euklidesa obowiązują dzisiaj tak samo jak zawsze – i właśnie dlatego Pitagoras i Euklides to najstarsze nazwiska, o których uczymy się w szkole. Sylabus gimnazjalny praktycznie nie wychodzi w matematyce poza to, co było znane już w połowie XVII wieku, a maturalny nie sięga dalej niż do połowy XVIII wieku. (Najnowsza matematyka, jakiej uczyłem się na studiach, pochodziła z lat 20. ubiegłego stulecia).

W trakcie pisania tej książki cały czas starałem się przekazywać radość i zachwyt towarzyszące odkrywaniu matematyki. (I pokazywać, że matematycy są zabawni. Jesteśmy królami logiki, dzięki czemu mamy niezwykle wyrafinowane wyczucie nielogiczności). Matematyka ma opinię nieciekawej i trudnej. Często rzeczywiście taka jest. Ale potrafi być też inspirująca, przystępna, a nade wszystko fantastycznie twórcza. Abstrakcyjne myślenie matematyczne uważa się za jedno z największych osiągnięć rasy ludzkiej i podstawę postępu człowieka.

Kraina Liczb to miejsce niezwykłe. Warto się tam wybrać.

Alex Bellos

styczeń 2010 roku

ROZDZIAŁ ZEROWYGłowa do liczb

Kiedy wszedłem do ciasnego mieszkania Pierre’a Piki w Paryżu, przytłoczył mnie smród środka odstraszającego komary. Pica wrócił właśnie z pięciomiesięcznego pobytu wśród Indian w amazońskim lesie deszczowym i dezynfekował przywiezione ze sobą prezenty. Ściany gabinetu ozdobione były maskami plemiennymi, pierzastymi pióropuszami i plecionymi koszykami. Półki uginały się pod ciężarem książek naukowych. Na parapecie samotnie leżała nieułożona kostka Rubika.

Zapytałem Picę, jak minęła mu podróż.

– Trudno – odparł.

Pica jest językoznawcą i zapewne dlatego mówi powoli i starannie, z namysłem dobierając poszczególne słowa. Mimo pięćdziesięciu kilku lat zachował chłopięcy wygląd – ma jasnoniebieskie oczy, rumiane policzki i miękką, rozczochraną srebrną fryzurę. Wypowiada się cichym głosem, jest bardzo skoncentrowany.

Pica był studentem wybitnego amerykańskiego językoznawcy Noama Chomskiego, a obecnie pracuje w Centre national de la recherche scientifique. Od 10 lat prowadzi badania wśród Munduruku, mniej więcej siedmiotysięcznej grupy rdzennych mieszkańców brazylijskiej Amazonii. Munduruku są myśliwymi zbieraczami żyjącymi w małych wioskach rozrzuconych na obszarze lasu deszczowego dwukrotnie większym od powierzchni Walii. Picę interesuje język Munduruku: nie ma w nim czasów, liczby mnogiej ani liczebników powyżej 5.

Aby dotrzeć na miejsce, Pica odbywa podróż godną wielkich poszukiwaczy przygód. Najbliższe duże lotnisko znajduje się w Santarém, mieście położonym 500 mil od Oceanu Atlantyckiego w górę Amazonki. Stąd Pica wyrusza w piętnastogodzinny rejs promem, by przepłynąć około 200 mil po rzece Tapajós do Itaituby, dawnego centrum gorączki złota, a dzisiaj ostatniego przystanku, podczas którego można zaopatrzyć się w zapasy żywności i paliwa. Na potrzeby tej wyprawy Pica wypożyczył w Itaitubie jeepa i załadował do niego między innymi komputery, ogniwa słoneczne, baterie, książki i 120 galonów benzyny. Następnie wyruszył Transamazoniką, drogą krajową powstałą w latach 70. na fali szaleństwa budowy nacjonalistycznej infrastruktury, która zmieniła się w niebezpieczny i często nieprzejezdny błotnisty szlak.

Celem Piki była Jacareacanga, małe osiedle położone 200 mil na południowy zachód od Itaituby. Zapytałem go, ile zajmuje mu dojazd na miejsce.

– To zależy – wzruszył ramionami. – Może zająć całe życie. Może zająć 2 dni.

– Jak długo trwało to tym razem – powtórzyłem.

– Wie pan, nigdy nie wiadomo, ile to potrwa, ponieważ nigdy nie trwa tyle samo. W sezonie deszczowym zajmuje od 10 do 12 godzin. O ile wszystko pójdzie dobrze.

Jacareacanga leży na skraju terytorium Munduruku. Aby dostać się na ten teren, Pica musiał zaczekać, aż pojawią się Indianie, i dogadać się z nimi, żeby zabrali go tam kanoe.

– Jak długo pan czekał? – zapytałem.

– Czekałem sporo. Ale, mówię, proszę mnie nie pytać ile dni.

– Więc było to parę dni? – zasugerowałem ostrożnie.

Zmarszczył czoło, minęło kilka sekund.

– To było około 2 tygodni.

Po ponad miesiącu od wyjazdu z Paryża Pica powoli zbliżał się do celu. Jak było do przewidzenia, chciałem się dowiedzieć, ile trwała podróż z Jacareacangi do wiosek.

Tym razem Pica już nie ukrywał zniecierpliwienia moim natrętnym wypytywaniem:

– Już mówiłem: to zależy!

Nie ustępowałem. Jak długo trwało to tym razem?

– Nie wiem. Chyba… może… 2 dni… dzień i noc… – wyjąkał.

Im bardziej naciskałem na fakty i liczby, tym mniej chętnie Pica je podawał. Byłem bliski rozpaczy. Nie miałem pojęcia, czy jego odpowiedzi wynikały z francuskiej nieustępliwości, akademickiej pedanterii, czy po prostu z czystej przekory. Przerwałem wypytywanie i przeszliśmy do innych tematów. Otworzył się dopiero po kilku godzinach, kiedy rozmawialiśmy o tym, jak to jest wrócić do domu po tak długim pobycie na końcu świata.

– Kiedy wracam z Amazonii, tracę poczucie czasu i poczucie liczb, i chyba nawet poczucie przestrzeni – wyznał. Zapomina o umówionych spotkaniach. Dezorientują go proste kierunki. – Bardzo trudno mi przystosować się od nowa do Paryża z jego kątami i liniami prostymi.

Niezdolność Piki do podawania danych ilościowych była przejawem szoku kulturowego. Spędziwszy tyle czasu z ludźmi, którzy ledwie potrafią liczyć, stracił zdolność opisywania świata w kategoriach liczb.

Nikt nie wie na pewno, ale prawdopodobnie liczby mają nie więcej niż 10 000 lat. Mam tu na myśli praktyczny system słów i symboli oznaczających liczby. Według jednej teorii narodził się on wraz z rolnictwem i handlem, ponieważ liczby są niezbędne, by dokonać transakcji i nie dać z siebie zedrzeć. Munduruku hodują i uprawiają jedynie na własne potrzeby i dopiero niedawno w ich wioskach zaczęły pojawiać się pieniądze, nigdy więc nie wykształcili umiejętności liczenia. Natomiast w przypadku rdzennych plemion Papui-Nowej Gwinei uważa się, że liczby pojawiły się za sprawą skomplikowanych zasad wymiany podarków. W Amazonii nie ma takiej tradycji.

Dziesiątki tysięcy lat temu, na długo przed pojawieniem się liczb, nasi przodkowie musieli mieć jednak jakieś poczucie ilości. Potrafili zapewne odróżnić 1 mamuta od 2 mamutów i rozpoznać, że 1 noc różni się od 2 nocy. Bardzo dużo czasu miało jeszcze upłynąć, nim nastąpił umysłowy skok od konkretnej idei 2 rzeczy do wynalezienia symbolu lub słowa wyrażającego abstrakcyjną ideę „dwóch”. I tyle właśnie udało się osiągnąć niektórym społecznościom w Amazonii. Istnieją plemiona, których zasób liczebników ogranicza się do „jedno”, „dwa” i „wiele”. Munduruku, którzy liczą aż do 5, są stosunkowo wyrafinowaną grupą.

Liczby są tak wszechobecne w naszym życiu, że trudno sobie wyobrazić, jak ludzie są w stanie bez nich przetrwać. Ale kiedy Pierre Pica przebywał wśród Munduruku, z łatwością wiódł życie pozbawione liczb. Spał w hamaku. Chodził na polowania. Jadł mięso tapira, pancernika i dzika. Czas określał według położenia słońca. Jeśli padało, zostawał w domu, jeśli było słonecznie, wychodził. Nie odczuwał potrzeby liczenia.

Mimo to wydało mi się dziwne, że w codziennym życiu w Amazonii w ogóle nie pojawiają się liczby większe niż 5. Zapytałem Picę, jak Indianin powiedziałby „sześć ryb”. Dajmy na to, przygotowuje posiłek dla 6 osób i chce upewnić się, że każda dostanie rybę.

– To niemożliwe – odpowiedział Pica. – Zdanie: „Chcę ryby dla sześciu osób” nie istnieje.

A gdyby zapytać Munduruku, który ma sześcioro dzieci: „Ile masz dzieci?”.

Pica udzielił takiej samej odpowiedzi.

– Powie „nie wiem”. Nie da się tego wyrazić.

Pica dodał jednak, że kwestia ta ma charakter kulturowy. Nie jest tak, że Munduruku liczy pierwsze dziecko, drugie, trzecie, czwarte, piąte, a potem nagle zatrzymuje się i drapie po głowie, bo nie może pójść dalej. Dla Munduruku sam pomysł liczenia dzieci jest niedorzeczny. Co więcej, niedorzeczny jest w ogóle pomysł liczenia czegokolwiek.

– Po co Munduruku miałby liczyć swoje dzieci? – zapytał Pica. – Dziećmi opiekują się wszyscy dorośli członkowie wspólnoty, nieważne, które jest czyje.

Pica porównał tę sytuację do francuskiego wyrażenia j’ai une grande famille, które znaczy „pochodzę z dużej rodziny”.

– Kiedy mówię, że mam dużą rodzinę, mówię, że nie wiem [ilu ma członków]. Gdzie kończy się moja rodzina, a gdzie zaczynają się rodziny innych? Nie wiem. Nikt mi tego nigdy nie powiedział. – Podobnie gdybyśmy zapytali dorosłego Munduruku, za ile dzieci odpowiada, nie ma poprawnej odpowiedzi. – Odpowie „nie wiem”, bo rzeczywiście tak jest.

Munduruku nie są jedynymi na przestrzeni dziejów, którzy nie liczą członków swojej społeczności. Kiedy król Dawid policzył własny lud, został ukarany trzydniową zarazą i śmiercią 70 000 ludzi. Żydzi mają liczyć żydów wyłącznie pośrednio, dlatego właśnie w celu sprawdzenia, czy w synagodze obecnych jest 10 mężczyzn powyżej 13. roku życia – tyle wynosi minjan, czyli kworum wymagane do wspólnych modłów – wypowiada się modlitwę złożoną z 10 słów, wskazując przy każdym słowie na kolejną osobę. Liczenie ludzi za pomocą liczb uważane jest za rodzaj wybierania, które naraża ich na wpływ złego. Poproś ortodoksyjnego rabina o policzenie swoich dzieci, a z dużym prawdopodobieństwem usłyszysz taką samą odpowiedź jak od Munduruku.

Rozmawiałem kiedyś z brazylijską nauczycielką, która pracowała długo z rdzennymi społecznościami. Powiedziała, że Indianie uważają ciągłe pytania obcych o liczbę dzieci za dziwaczny zwyczaj, choć goście zadają je po prostu z grzeczności. Po co liczyć dzieci? Budzi to wielką podejrzliwość wśród Indian.

Pierwsza pisemna wzmianka na temat Munduruku pochodzi z 1768 roku, kiedy pewien osadnik zauważył kilkoro Indian na brzegu rzeki. Wiek później franciszkańscy misjonarze założyli bazę na ziemi Munduruku, kontakty nasiliły się podczas boomu kauczukowego pod koniec XIX wieku, kiedy przez te tereny przedzierali się zbieracze kauczuku. Większość Munduruku nadal żyje we względnym odosobnieniu, ale jak wiele innych indiańskich grup o długiej historii kontaktów, często noszą zachodnie ubrania, takie jak T-shirty i szorty. Prędzej czy później w ich świecie pojawi się elektryczność, telewizja i inne elementy współczesnego życia. Również liczby. Niektórzy Munduruku mieszkający na obrzeżach swojego terytorium nauczyli się już portugalskiego, narodowego języka Brazylii, i potrafią liczyć po portugalsku.

– Potrafią liczyć um, dois, três aż do setek – powiedział Pica. – A potem pytasz ich: „A przy okazji, ile jest 5 minus 3?”. Żartobliwie zademonstrował charakterystyczne francuskie wzruszenie ramionami.

Nie mają pojęcia.

W lesie deszczowym Pica prowadzi badania, korzystając z laptopów zasilanych przez baterie słoneczne. Konserwacja sprzętu komputerowego to logistyczny koszmar z powodu gorąca i wilgoci, czasami jednak największą sztuką jest zwerbowanie uczestników testów. Pewnego razu wódz wioski zgodził się na przeprowadzenie wywiadu z dzieckiem pod warunkiem, że Pica zje wielką czerwoną mrówkę sauba. Sumienny jak zawsze językoznawca, krzywiąc się, pogryzł i połknął owada.

Badania matematycznych umiejętności ludzi, którzy potrafią liczyć tylko na jednej ręce, mają na celu odkrycie natury naszych podstawowych intuicji liczbowych. Pica chce się dowiedzieć, co jest uniwersalne dla wszystkich ludzi, a co kształtowane przez kulturę. W jednym ze swoich najbardziej fascynujących eksperymentów badał przestrzenne pojmowanie liczb przez Indian. Jak umiejscawiają liczby na linii? We współczesnym świecie robimy to cały czas – na taśmie mierniczej, linijkach, wykresach i domach stojących wzdłuż ulicy. Ponieważ Munduruku nie znają liczb, Pica posługiwał się zbiorami kropek na ekranie. Każdemu ochotnikowi pokazywał obraz z nieoznakowaną kreską jak ten na rysunku na następnej stronie. Z lewej strony kreski znajdowała się 1 duża kropka, z prawej zaś umieszczono 10 kropek. Potem pokazywano przypadkowe zbiory zawierające od 1 do 10 kropek. Przy każdym zbiorze badany musiał wskazać, w jakim miejscu na linii należałoby jego zdaniem ulokować daną liczbę kropek. Pica przesuwał kursor do tego punktu i klikał. Po wielu powtórzeniach mógł zaobserwować, jak Munduruku rozmieszczają liczby między 1 a 10.

Jak Munduruku umiejscawiają liczby na linii?

Dorośli Amerykanie, wykonując to samo zadanie, umieszczali liczby w równych odstępach na linii. Odtwarzali zapamiętaną ze szkoły oś liczbową, na której sąsiednie liczby znajdują się w tej samej odległości, jakby odmierzono je linijką. Munduruku odpowiadali zupełnie inaczej. Uważali, że odstępy między liczbami na początku są duże, a potem wraz ze wzrostem liczb stają się coraz mniejsze. Na przykład odległość między punktami oznaczającymi 1 kropkę i 2 kropki oraz między 2 kropkami i 3 kropkami była o wiele większa niż odległość między 7 a 8 czy między 8 a 9 kropkami, co widać na wykresach zaprezentowanych na następnej stronie.

Wyniki były zdumiewające. Przyjmuje się bowiem za oczywistość, że liczby są rozmieszczone równomiernie. Uczymy się tego w szkole. Jest to podstawa wszelkich pomiarów i nauki. Lecz Munduruku nie patrzą na świat w taki sposób. Pozbawieni języka liczenia i liczebników, wyobrażają sobie wielkości zupełnie inaczej.

Kiedy liczby są rozmieszczone równomiernie jak na linijce, mówimy, że skala jest liniowa (linearna). Kiedy liczby w miarę wzrastania coraz bardziej zbliżają się do siebie, mamy do czynienia ze skalą logarytmiczną1. Okazuje się, że logarytmiczne ujęcie nie jest wyłączną cechą amazońskich Indian. Wszyscy rodzimy się z takim pojmowaniem liczb. W 2004 roku Robert Siegler i Julie Booth z Carnegie Mellon University w Pittsburghu przedstawili podobną wersję eksperymentu z osią liczbową grupie dzieci z zerówki (średnia wieku 5,8), pierwszoklasistom (6,9) i drugoklasistom (7,8). Wyniki pokazały w zwolnionym tempie, jak znajomość liczenia kształtuje intuicję. Zerówkowicz bez formalnej edukacji matematycznej sytuuje liczby logarytmicznie. W pierwszym roku nauki szkolnej, gdy uczniowie zapoznawani są z nazwami i symbolami liczb, krzywa zaczyna się prostować. W drugiej klasie liczby są już równomiernie ułożone wzdłuż linii.

Dlaczego Indianie i dzieci myślą, że większe liczby znajdują się bliżej siebie niż mniejsze liczby? Istnieje proste wyjaśnienie. W omawianych eksperymentach ochotnikom pokazywano zbiory kropek i pytano, gdzie dany zbiór należy ulokować w stosunku do linii z 1 kropką po lewej i 10 kropkami po prawej. (Lub, jak przypadku dzieci, z setką kropek). Wyobraźmy sobie, że Munduruku pokazano 5 kropek. Będzie je uważnie badał i zobaczy, że 5 kropek jest pięć razy większe od 1 kropki, ale 10 kropek jest tylko dwukrotnie większe od 5 kropek. Najwyraźniej Munduruku i dzieci rozstrzygają położenie liczby na podstawie szacowania proporcji między ilościami. Biorąc pod uwagę proporcje, logiczne jest, że odległość między 5 a 1 jest o wiele większa niż odległość między 10 a 5. Jeśli będziemy oceniać ilości za pomocą proporcji, zawsze otrzymamy skalę logarytmiczną.

Pica jest przekonany, że przybliżone pojmowanie ilości w kategoriach szacowania proporcji jest uniwersalną ludzką intuicją. Zresztą ludzie, którzy nie znają liczb (jak Indianie i małe dzieci), nie mają innego wyboru, jak widzieć świat w ten sposób. Pojmowanie ilości w kategoriach precyzyjnych liczb nie jest umiejętnością uniwersalną, lecz wytworem kultury. Pierwszeństwo przybliżeń i proporcji przed precyzyjnymi liczbami, jak sugeruje Pica, wynika z faktu, że proporcje są o wiele ważniejsze dla przetrwania w naturalnych warunkach niż umiejętność liczenia. Mając przed sobą grupę przeciwników uzbrojonych w dzidy, musieliśmy natychmiast wiedzieć, czy jest ich więcej od nas. Kiedy widzieliśmy 2 drzewa, musieliśmy od razu wiedzieć, na którym rośnie więcej owoców. Ani w jednym, ani w drugim wypadku nie było konieczne liczenie każdego wroga lub każdego owocu z osobna. Decydujące znaczenie miała zdolność do szybkiego oszacowania istotnych ilości i porównania ich, czyli inaczej mówiąc, do określenia przybliżeń i oceny ich proporcji.

Skala logarytmiczna wiernie oddaje również sposób postrzegania odległości i pewnie dlatego jest tak intuicyjna. Uwzględnia bowiem perspektywę. Gdy widzimy drzewo w odległości 100 metrów i kolejne 100 metrów za nim, to to drugie 100 metrów wydaje się krótsze. Dla Munduruku idea, że każde 100 metrów reprezentuje taką samą odległość, wypacza to, jak postrzega on otoczenie.

Dokładne liczby dają nam linearne ramy, które są sprzeczne z naszą logarytmiczną intuicją. Co więcej, w większości sytuacji biegłość w posługiwaniu się precyzyjnymi liczbami wypiera intuicję logarytmiczną. Nie została ona jednak do końca wyeliminowana. W życiu posługujemy się zarówno liniowym, jak i logarytmicznym pojmowaniem ilości. Logarytmiczne bywa zwykle poczucie upływającego czasu. Często mamy wrażenie, że im jesteśmy starsi, tym szybciej mija czas. Ale działa to też w drugą stronę: wczoraj wydaje się o wiele dłuższe niż cały ubiegły tydzień. Nasz głęboko zakorzeniony instynkt logarytmiczny ujawnia się najwyraźniej, kiedy myślimy o bardzo dużych liczbach. Dla przykładu – wszyscy dobrze rozumiemy różnicę między 1 a 10; mało prawdopodobne, byśmy pomylili 1 duże piwo z 10 dużymi piwami. Ale co z różnicą między 1 miliardem galonów wody a 10 miliardami galonów wody? Choć różnica jest ogromna, zwykle postrzegamy obie te wielkości jako dość podobne – po prostu jako bardzo duże ilości wody. Podobnie jest z określeniami milioner i miliarder, których używa się niemal synonimicznie – jakby nie było wielkiej różnicy między byciem bardzo bogatym a bardzo, bardzo bogatym. Miliarder jest jednak 1000 razy bogatszy od milionera. Im większe liczby, tym wydają nam się bliższe.

Fakt, że Pica wyszedł z wprawy w posługiwaniu się liczbami po zaledwie kilku miesiącach spędzonych w dżungli, wskazuje, że liniowe rozumienie liczb nie jest tak głęboko zakorzenione w mózgu jak logarytmiczne. Pojmowanie liczb jest zaskakująco kruche i dlatego bez regularnej praktyki tracimy zdolność do operowania precyzyjnymi liczbami i wracamy do intuicyjnego oceniania wielkości na podstawie przybliżeń i proporcji.

Pica powiedział, że badania nad naszymi intuicjami matematycznymi mogą mieć poważne znaczenie dla nauczania matematyki – zarówno w Amazonii, jak i na Zachodzie. Musimy rozumieć oś liczbową, żeby funkcjonować we współczesnym społeczeństwie, bo jest to podstawa mierzenia i ułatwia rachowanie. Polegając na linearności, być może jednak zaszliśmy za daleko w tłumieniu intuicji logarytmicznej. Niewykluczone, stwierdził Pica, że właśnie dlatego matematyka sprawia trudności tak wielu ludziom. Może powinniśmy zwracać większą uwagę na szacowanie proporcji, zamiast operować precyzyjnymi liczbami. Może też uczenie Munduruku liczenia po naszemu wcale nie byłoby najlepszym pomysłem – mogłoby pozbawić ich intuicji czy wiedzy matematycznej, które są im niezbędne do przetrwania.

Zainteresowanie zdolnościami matematycznymi tych, którzy nie mają słów ani symboli na oznaczenie liczb, tradycyjnie skupia się na zwierzętach. Jednym z najsłynniejszych obiektów badań w tej dziedzinie był kłusak imieniem Kluger Hans. Na początku XX wieku na pewnym berlińskim podwórzu regularnie gromadziły się tłumy, by patrzeć, jak właściciel Hansa, emerytowany nauczyciel matematyki Wilhelm von Osten, daje koniowi do rozwiązania proste działania arytmetyczne. Hans odpowiadał, stukając kopytem o ziemię właściwą liczbę razy. Jego repertuar obejmował dodawanie, odejmowanie, ułamki, pierwiastki kwadratowe i rozkład na czynniki. Fascynacja publiki oraz podejrzenia, iż rzekoma inteligencja czworonoga jest jakąś sztuczką, sprawiły, że powołano komisję do zbadania jego umiejętności. Wybitni naukowcy stwierdzili, że, jawohl!, Hans rzeczywiście wykonuje obliczenia matematyczne.

Potrzeba było mniej wybitnego, acz bardziej wnikliwego psychologa, by zdyskredytować końskiego Einsteina. Oskar Pfungst zauważył, że Hans reaguje na znaki zawarte w mowie ciała von Ostena. Zaczynał stukać kopytem i przestawał dopiero, kiedy wyczuwał wzrost lub rozluźnienie napięcia na twarzy trenera, które wskazywało, że dotarł do odpowiedzi. Koń był wyczulony na najdrobniejsze sygnały wzrokowe, takie jak pochylenie głowy, uniesienie brwi czy rozszerzenie nozdrzy. Von Osten nie zdawał sobie nawet sprawy, że przesyła takie niewerbalne komunikaty. Hans doskonale odczytywał reakcje ludzi, ale z pewnością nie był arytmetykiem.

W minionym stuleciu wielokrotnie próbowano nauczyć zwierzęta liczyć, nie zawsze z myślą o jarmarcznej rozrywce. W 1943 roku niemiecki naukowiec Otto Koehler wyszkolił kruka Jakoba, by wskazywał garnek z określoną liczbą kropek na pokrywce spośród garnków o różnych liczbach kropek. Ptak potrafił wykonać to zadanie, jeśli liczba kropek na pokrywce mieściła się między 1 a 7. W ostatnich latach ptasia inteligencja wzbiła się na jeszcze bardziej imponujące wyżyny. Irene Pepperberg z Uniwersytetu Harvarda nauczyła afrykańskie żako imieniem Alex liczb od 1 do 6. Kiedy papudze pokazywano zbiór kolorowych klocków, potrafiła odpowiedzieć, ile jest na przykład niebieskich, przez zaskrzeczenie angielskiego liczebnika. Alex zyskał tak wielką sławę wśród naukowców i miłośników ptaków, że gdy w 2007 roku niespodziewanie dokonał żywota, w tygodniku „The Economist” ukazał się jego nekrolog.

Z historii Hansa wypływała nauka, że kiedy uczy się zwierzęta liczyć, należy z jak największą starannością wyeliminować mimowolne podpowiedzi ze strony człowieka. Jeśli chodzi o edukację matematyczną Ai, szympansicy sprowadzonej do Japonii z Afryki Zachodniej pod koniec lat 70. XX wieku, dokonano tego w ten sposób, że zwierzę uczyło się za pomocą komputera z ekranem dotykowym.

Ai ma dzisiaj 31 lat i mieszka w Primate Research Institute w Inuyamie, turystycznym miasteczku w centralnej Japonii. Ma wysokie łysiejące czoło, białe włosy na brodzie i ciemne, zapadnięte oczy człekokształtnej małpy w średnim wieku. Występuje jako „studentka”, nigdy jako „badana”. Ai codziennie chodzi na zajęcia. Stawia się punktualnie o dziewiątej rano, po nocy spędzonej pod gołym niebem z grupą innych szympansów na olbrzymiej, przypominającej drzewo konstrukcji z drewna, metalu i lin. Tego dnia, kiedy ją zobaczyłem, siedziała z głową przy monitorze, pukając palcem serie cyfr pojawiających się na ekranie. Ilekroć poprawnie wykonała zadanie, z rury po prawej stronie wypadała ośmiomilimetrowa kostka jabłka. Ai chwytała ją i natychmiast wcinała. Jej nieprzytomny wzrok, nonszalanckie pukanie w migający, pobrzękujący komputer oraz monotonny rytm wydawania nagrody przywodziły mi na myśl starszą panią grającą na automatach.

Ai jest szczególną małpą człekokształtną – jako pierwszy nieczłowiek nauczyła się liczyć za pomocą cyfr arabskich. (Są to symbole 1, 2, 3 i tak dalej, których używa się w prawie wszystkich krajach z wyjątkiem – paradoksalnie – niektórych części świata arabskiego). Tetsuro Matsuzawa, dyrektor instytutu, musiał w tym celu nauczyć ją 2 aspektów ludzkiego pojmowania liczby: ilości oraz kolejności.

Liczby wyrażają ilość, a także pozycję. Pojęcia te, choć ze sobą powiązane, są jednak różne. Kiedy na przykład mówię o „pięciu papugach”, mam na myśli to, że ilość papug w grupie wynosi pięć. Ten aspekt liczby matematycy nazywają kardynalnym. Z drugiej strony, kiedy liczę od 1 do 20, korzystam z tej wygodnej cechy, że liczby można uporządkować w kolejności. Nie chodzi mi o 20 przedmiotów, po prostu wyliczam pewien ciąg. Matematycy nazywają ten aspekt liczby porządkowym. W szkole uczymy się aspektu kardynalnego i porządkowego razem i bez trudu przechodzimy od jednego do drugiego. Dla szympansów jednak ów związek wcale nie jest oczywisty.

Matsuzawa najpierw nauczył Ai, że 1 czerwony ołówek odnosi się do symbolu „1”, a 2 czerwone ołówki do „2”. Po 1 i 2 Ai nauczyła się 3, a potem pozostałych cyfr. Kiedy pokazywano jej na przykład 5, potrafiła pokazać kwadrat z 5 przedmiotami, a kiedy pokazywano kwadrat z 5 przedmiotami, stukała w cyfrę 5. Motorem jej edukacji były nagrody: jeśli poprawnie wykonała zadanie komputerowe, z rury umieszczonej obok wypadał smakołyk.

Kiedy Ai opanowała już kardynalny aspekt cyfr od 1 do 9, Matsuzawa wprowadził nowe zadania, żeby nauczyć ją aspektu porządkowego. Na ekranie pojawiały się cyfry, a Ai musiała wskazywać je w porządku rosnącym. Jeśli na ekranie widniało 4 i 2, musiała dotknąć 2, a potem 4, żeby zdobyć kostkę jabłka. Pojęła to dość szybko. Opanowanie przez Ai obu aspektów oznaczało, że Matsuzawa mógł słusznie ogłosić, iż jego podopieczna nauczyła się liczyć. Dzięki temu dokonaniu stała się bohaterką narodową w Japonii oraz światową ikoną swego gatunku.

Potem Matsuzawa wprowadził pojęcie zera. Ai z łatwością zrozumiała kardynalność symbolu 0. Ilekroć na ekranie pojawiał się kwadrat z niczym, stukała tę cyfrę. Wtedy Matsuzawa chciał sprawdzić, czy była w stanie wywnioskować porządkowy aspekt zera. Ai pokazywano losowy ciąg ekranów z parą cyfr, tak samo jak wtedy, gdy uczyła się kolejności cyfr od 1 do 9, z tą różnicą, że teraz czasami jedną z nich było 0. Gdzie jej zdaniem było miejsce zera w porządku liczb?

W pierwszej sesji Ai umieszczała 0 między 6 a 7. Matsuzawa obliczył to, uśredniając liczby jej zdaniem poprzedzające 0 i następujące po nim. W kolejnych sesjach podawana przez Ai pozycja 0 spadła najpierw poniżej 6, potem poniżej 5 i 4, aż wreszcie po kilkuset próbach 0 spadło w okolice 1. Ai nadal jednak była zdezorientowana, czy 0 jest mniejsze, czy większe od 1. Choć bez zarzutu operuje liczbami, brakuje jej głębi ludzkiego pojmowania liczb.

Perfekcyjnie za to nauczyła się robić show. W tej mierze osiągnęła absolutne zawodowstwo – lepiej wykonuje zadania na komputerze, jeśli robi to na oczach publiczności, a zwłaszcza ekip telewizyjnych.

Badania nad biegłością w posługiwaniu się liczbami przez zwierzęta to prężnie rozwijający się nurt w nauce. Eksperymenty ujawniły zaskakującą zdolność do klasyfikowania ilości u tak różnych zwierząt, jak salamandry, szczury czy delfiny. Choć konie nadal nie potrafią obliczać pierwiastków kwadratowych, naukowcy uważają obecnie, iż zdolności liczbowe zwierząt są o wiele bardziej wyrafinowane, niż dotychczas sądzono. Wydaje się, że wszystkie zwierzęta rodzą się z mózgami obdarzonymi jakąś predyspozycją do matematyki.

W końcu kompetencje numeryczne mają decydujące znaczenie dla przetrwania w naturalnych warunkach. Szympans z mniejszym prawdopodobieństwem będzie chodzić głodny, jeśli potrafi spojrzeć na drzewo i określić liczbę dojrzałych owoców, które zje na lunch. Karen McComb z Sussex University obserwowała stado lwów w Parku Narodowym Serengeti, aby wykazać, że lwy kierują się poczuciem liczby, kiedy decydują o ewentualnym ataku na inne lwy. W pewnym eksperymencie samotna lwica wracała o zmierzchu do stada. McComb puściła nagranie pojedynczego ryknięcia z ukrytego głośnika zainstalowanego wcześniej w krzakach. Lwica usłyszała ryk i kontynuowała powrót do domu. W drugim eksperymencie szło razem 5 lwic. McComb z ukrytego głośnika odtworzyła ryki 3 samic. Grupka 5 lwic usłyszała odgłosy 3 i spojrzała w kierunku, skąd dochodził hałas. Jedna lwica zaczęła ryczeć i wkrótce cała piątka popędziła w stronę zarośli, by zaatakować.

Wniosek McComb był taki, że lwice porównywały w głowie ilości. Jedna na jedną oznaczało zbyt duże ryzyko, ale mając przewagę 5 : 3, można było ruszyć do ataku.

Nie wszystkie badania nad liczbami u zwierząt wiążą się z takimi bonusami, jak obozowanie na równinie Serengeti czy zaprzyjaźnianie się ze sławną szympansicą. Na Universität Ulm naukowcy umieścili saharyjskie mrówki pustynne na końcu tunelu i wysłali je w poszukiwaniu jedzenia. Kiedy owady dotarły do pożywienia, jednej grupie odcięto końcówki odnóży, a drugiej doczepiono szczudła zrobione ze świńskiej szczeciny. (Nie jest to tak okrutne, jak się wydaje, ponieważ odnóża pustynnych mrówek stale ścierają się w saharyjskim słońcu). Mrówki z krótszymi nogami kończyły trasę powrotną przed dotarciem do domu, natomiast mrówki z przedłużonymi nogami szły dalej, niż było trzeba, co wskazuje na to, iż nie oceniały odległości za pomocą wzroku, lecz wewnętrznego krokomierza. Niezwykła zdolność mrówek do wielogodzinnych wędrówek i bezbłędnego odnajdywania drogi z powrotem do gniazda może być po prostu wynikiem biegłości w liczeniu kroków.

Badania nad kompetencją numeryczną zwierząt przybierają czasem nieoczekiwany obrót. Szympansy mają swoje ograniczenia matematyczne, ale badając je, Matsuzawa odkrył, że posiadają inne zdolności poznawcze bez porównania lepsze od naszych.

W 2000 roku Ai urodziła syna Ayumu. W dniu, w którym zawitałem do Primate Research Institute, Ayumu siedział w klasie obok mamy. Był mniejszy, miał bardziej zaróżowioną skórę na twarzy i czarniejsze włosy. Ayumu siedział przed własnym monitorem, stukał cyfry pojawiające się na ekranie i z zapałem wcinał zdobywane kosteczki jabłka. Jest pewnym siebie chłopakiem, jak przystało na kogoś, kto ma uprzywilejowany status syna i następcy dominującej samicy w stadzie.

Ayumu nigdy nie uczono korzystania z ekranu dotykowego, ale jako dziecko przesiadywał przy matce podczas jej codziennych lekcji. Pewnego dnia Matsuzawa uchylił drzwi do klasy na tyle, by mógł przejść przez nie Ayumu, ale Ai nie dała rady się przecisnąć. Ayumu pomaszerował prosto do monitora. Badacze obserwowali go z niecierpliwością, żeby zobaczyć, czego się nauczył. Nacisnął przycisk start i pojawiły się cyfry 1 i 2. Było to proste zadanie na kolejność. Ayumu kliknął 2. Źle. Jeszcze raz nacisnął 2. Znowu źle. Wtedy spróbował nacisnąć 1 i 2 jednocześnie. Źle. W końcu udało mu się: nacisnął 1, a następnie 2 i do ręki wpadła mu kostka jabłka. Wkrótce Ayumu był lepszy we wszystkich zadaniach komputerowych od swojej mamy.

Parę lat temu Matsuzawa wprowadził nowy rodzaj zadania. Po naciśnięciu przycisku start na ekranie pokazywały się cyfry od 1 do 5 w przypadkowej kolejności. Po 0,65 sekundy zamieniały się w białe kwadraciki. Zadanie polegało na wskazaniu kwadracików w poprawnej kolejności, co wymagało zapamiętania, który kwadracik był którą cyfrą.

Ayumu wykonywał zadanie poprawnie w mniej więcej 80 procentach prób, co było wynikiem porównywalnym z badaną grupą japońskich dzieci. Potem Matsuzawa skrócił czas wyświetlania liczb do 0,43 sekundy i podczas gdy Ayumu ledwie zauważył różnicę, odsetek poprawnych odpowiedzi dzieci obniżył się do około 60. Kiedy Matsuzawa ponownie skrócił czas ekspozycji liczb do zaledwie 0,21 sekundy, Ayumu nadal osiągał 80 procent, ale dzieci zeszły do 40.

Eksperyment ten ujawnił, że Ayumu ma nadzwyczajną fotograficzną pamięć, podobnie zresztą jak inne szympansy z Inuyamy, choć żaden nie może się z nim równać. Matsuzawa zwiększył liczbę cyfr w kolejnych eksperymentach i teraz Ayumu potrafi zapamiętać położenie 8 cyfr wyświetlanych przez zaledwie 0,21 sekundy. Matsuzawa zmniejszył również przedział czasu i Ayumu potrafi teraz zapamiętać położenie 5 cyfr widocznych przez jedyne 0,09 sekundy – tyle, by człowiek ledwie zdążył je zauważyć. Bardzo możliwe, że ten niesłychany talent do momentalnego zapamiętywania wiąże się z tym, iż podejmowanie błyskawicznych decyzji, na przykład dotyczących liczby wrogów, ma podstawowe znaczenie w świecie natury.

W tym zadaniu wyświetlanych jest 7 liczb jednocyfrowych, które potem zamieniają się w białe kwadraty. Ayumu musi zapamiętać położenie liczb, a następnie dotknąć palcem kwadraty w odpowiedniej kolejności, za co otrzyma smaczną nagrodę.

Badania nad ograniczeniami zdolności numerycznych zwierząt w naturalny sposób łączą się z kwestią wrodzonych zdolności człowieka. Naukowcy, którzy chcą eksplorować umysły w możliwie najmniejszym stopniu skażone wiedzą nabytą, potrzebują jak najmłodszych uczestników eksperymentów. Dlatego dzisiaj rutynowo testuje się umiejętności matematyczne już kilkumiesięcznych niemowląt. Ponieważ w tym wieku dzieci nie umieją mówić ani dostatecznie panować nad swoimi kończynami, odczytywanie przejawów sprawności liczbowej opiera się na obserwacji oczu. Teoretyczne założenie jest takie, że dzieci dłużej będą wpatrywać się w obrazy, które są dla nich interesujące. W 1980 roku Prentice Starkey z University of Pennsylvania pokazywał niemowlętom w wieku od 16 do 30 tygodni jeden ekran z 2 kropkami, a potem inny ekran z 2 kropkami. Dzieci patrzyły na drugi ekran przez 1,9 sekundy. Ale kiedy Starkey powtórzył test, pokazując po ekranie z 2 kropkami ekran z 3 kropkami, niemowlęta wpatrywały się w niego przez 2,5 sekundy – prawie o jedną trzecią dłużej. Zdaniem Starkeya ten dodatkowy czas oznacza, że dzieci zauważyły coś innego w 3 kropkach w porównaniu z 2 kropkami, a zatem mają elementarne rozumienie liczby. Metoda oceny zdolności numerycznych na podstawie długości skupienia uwagi jest obecnie standardem. Elizabeth Spelke z Harvardu w 2000 roku udowodniła, że sześciomiesięczne niemowlęta potrafią rozpoznać różnicę między 8 i 16 kropkami, a w 2005 roku, że umieją odróżnić 16 od 32.

Podobny eksperyment wykazał, iż dzieci mają pewne pojęcie o arytmetyce. W 1992 roku Karen Wynn z University of Arizona posadziła pięciomiesięczne niemowlę przed małą sceną. Dorosła osoba umieściła na scenie lalkę przedstawiającą Myszkę Miki, a następnie postawiła ekran, żeby ją zasłonić. Potem umieściła za ekranem drugą Myszkę Miki, a na końcu zabrała ekran, zza którego ukazały się dwie lalki. Wynn powtórzyła cały eksperyment z tą różnicą, że tym razem po usunięciu ekranu ukazywała się niewłaściwa liczba lalek: tylko 1 lalka albo 3 lalki. Kiedy była 1 lalka lub 3 lalki, niemowlę patrzyło na scenę dłużej, niż kiedy były 2 lalki, co wskazuje, że niemowlę czuło się zaskoczone, kiedy arytmetyka się nie zgadzała. Dzieci rozumiały, jak tłumaczyła Wynn, że 1 lalka plus 1 lalka równa się 2 lalki.

Rekonstrukcja eksperymentu Karen Wynn, w którym badano zdolność niemowląt do rozpoznawania poprawnej liczby lalek za ekranem.

Szwajcarski psycholog Jean Piaget (1896–1980) uważał, że niemowlęta wykształcają pojmowanie liczb powoli, na drodze doświadczenia, więc nie ma sensu uczyć arytmetyki dzieci młodszych niż sześcio- czy siedmioletnie. Wywarło to wpływ na parę pokoleń nauczycieli, którzy często woleli pozwalać dzieciom z pierwszych klas szkoły podstawowej na zabawę klockami podczas lekcji, zamiast zapoznawać ich z matematyką formalną. Obecnie poglądy Piageta uważa się za przestarzałe. Uczniowie stają twarzą w twarz z cyframi arabskimi i rachunkami już na początku szkolnej kariery.

Eksperymenty z kropkami stanowią również kamień węgielny badań nad myśleniem liczbowym u dorosłych. Klasyczny test polega na tym, że pokazuje się badanemu kropki na ekranie i pyta, ile kropek widzi. W przypadku 1 kropki lub 3 kropek odpowiedź pada niemal natychmiast. Kiedy są 4 kropki, czas odpowiedzi jest znacząco dłuższy, a przy 5 jeszcze bardziej.

Co z tego? Ano to, że może właśnie dlatego w kilku kulturach cyfry 1, 2 i 3 mają postać 1, 2 i 3 kresek, natomiast cyfra oznaczająca 4 nie składa się z 4 kresek. Kiedy kresek jest co najwyżej trzy, ich liczbę potrafimy rozpoznać od razu, ale kiedy są cztery kreski, nasz mózg musi pracować zbyt ciężko i niezbędny jest inny symbol. Chińskie znaki od 1 do 4 to , , i , a starohinduskie:, , i (jeśli połączysz kreski, zobaczysz, jak przekształciły się we współczesne 1, 2, 3 i 4).

Właściwie nie ma pełnej zgody co do tego, czy graniczna liczba kresek, jakie możemy momentalnie rozpoznać, wynosi 3 czy 4. Rzymianie rzeczywiście mieli do wyboru IIII oraz IV na oznaczenie czwórki. IV jest o wiele szybciej rozpoznawalne, ale na tarczach zegarów – być może ze względów estetycznych – zwykle stosowano IIII. Niewątpliwie jednak liczba kresek, kropek czy tygrysów szablastozębnych, które możemy policzyć błyskawicznie, pewnie i precyzyjnie, nie przekracza 4. Podczas gdy mamy precyzyjne wyczucie 1, 2 i 3, już po 4 nasza precyzja słabnie i oceny dotyczące liczb stają się przybliżone. Spróbuj odgadnąć szybko, ile kropek jest na poniższej ilustracji.

Jest to niemożliwe (chyba że jest się autystycznym sawantem, jak Raymond Babbitt, bohater grany przez Dustina Hoffmana w filmie Rain Man, który w ułamku sekundy byłby w stanie mruknąć „75”). Naszą jedyną strategią jest szacowanie i zapewne grubo byśmy się pomylili.

Naukowcy badają zakres naszej intuicji ilości, pokazując ochotnikom różne liczby kropek i pytając, który zbiór jest większy. Zauważono pewne prawidłowości w tym zakresie. Łatwiej na przykład rozpoznać różnicę między zestawami 80 i 100 kropek niż między zestawami liczącymi 81 i 82 kropki. Tak samo łatwiej odróżnić 20 kropek od 40 niż 80 kropek od 100. W przypadkach A i B poniżej za każdym razem lewy zbiór kropek jest większy od prawego, choć czas potrzebny nam do przetworzenia tej informacji jest wyraźnie dłuższy w przypadku B.

Naukowcy z zaskoczeniem odkryli, jak ściśle nasze zdolności porównywania stosują się do praw matematyki, takich jak reguła mnożenia. W książce The Number Sense: How the Mind Creates Mathematics francuski kognitywista Stanislas Dehaene podaje przykład osoby, która potrafi odróżnić 10 kropek od 13 kropek z dokładnością 90 procent. Jeśli pierwszy zbiór zostanie podwojony do 20 kropek, to ile kropek musi zawierać drugi zbiór, żeby osoba ta zachowała stałą trafność? Odpowiedź brzmi: 26 – dokładnie dwa razy więcej niż wynosiła pierwotna liczba w drugim zbiorze.

Zwierzęta też potrafią porównywać zbiory kropek. Choć nie osiągają równie wysokich wyników, to wydaje się, że ich umiejętnościami rządzą te same prawa matematyki. Jest to dość niezwykłe. Ludzie jako jedyni mają cudownie skomplikowany system liczenia. Życie jest pełne liczb. Jednak przy całym naszym talencie matematycznym, w dziedzinie postrzegania i szacowania wielkich liczb mózg człowieka funkcjonuje tak samo jak mózg jego pierzastych czy futrzastych przyjaciół.

Ludzka intuicja dotycząca ilości doprowadziła w ciągu milionów lat do powstania liczb. Nie sposób stwierdzić, jak dokładnie do tego doszło, ale można przypuszczać, że miało to coś wspólnego z pragnieniem śledzenia rzeczy – faz księżyca, gór, drapieżników czy uderzeń bębna. Początkowo, być może, używaliśmy symboli wizualnych, takich jak palce czy nacięcia na drewnie, odpowiadających jeden do jednego przedmiotom, które obserwowaliśmy – 2 nacięcia lub 2 palce oznaczają 2 mamuty, 3 nacięcia lub 3 palce oznaczają 3 i tak dalej. Później wymyśliliśmy słowa wyrażające pojęcia „dwa nacięcia” lub „trzy palce”.

W miarę jak obserwowaliśmy coraz więcej przedmiotów, nasze słownictwo i symbolika liczb rozszerzały się i – przeskakując do współczesności – teraz mamy w pełni rozwinięty system precyzyjnych liczb, za pomocą którego potrafimy liczyć wielkości tak duże, jak tylko chcemy. Nasza umiejętność wyrażania liczb w sposób precyzyjny, na przykład możliwość powiedzenia, że na obrazku jest dokładnie 75 kropek, idzie ramię w ramię z bardziej fundamentalną zdolnością rozumienia takich ilości w sposób przybliżony. Jaką metodę zastosować, wybieramy zależnie od okoliczności: w supermarkecie, dajmy na to, porównując ceny wybranych produktów, posługujemy się precyzyjnymi liczbami. Kiedy jednak postanawiamy dołączyć do najkrótszej kolejki do kasy, zdajemy się na wyczucie instynktowne, przybliżone. Nie liczymy wszystkich osób stojących we wszystkich kolejkach. Patrzymy na kolejki i szacujemy, w której jest najmniej ludzi.

Tak naprawdę stale stosujemy nieprecyzyjne podejście do liczb, nawet gdy używamy precyzyjnej terminologii. Zapytaj kogoś, ile czasu zajmuje mu dojazd do pracy, a najczęściej w odpowiedzi usłyszysz pewien przedział, powiedzmy „35–40 minut”. Zauważyłem, że właściwie nie potrafię podać jednej liczby w odpowiedzi na pytania dotyczące ilości. Ile osób było na przyjęciu? 20–30... Jak długo tam byłeś? 3,5–4 godziny… Ile drinków wypiłeś? 4… 5… 10… Kiedyś myślałem, że jestem po prostu niezdecydowany. Teraz nie jestem już tego taki pewny. Wolę myśleć, że opieram się na wewnętrznym zmyśle liczbowym, intuicyjnej, zwierzęcej skłonności do posługiwania się przybliżeniami.

Ponieważ szacunkowe wyczucie liczb jest niezbędne dla przetrwania, wydawałoby się, że wszyscy ludzie mają porównywalne zdolności w tym zakresie. W artykule z 2008 roku psychologowie z Uniwersytetu Johnsa Hopkinsa oraz Kennedy Krieger Institute badali, czy tak właśnie jest w grupie czternastolatków. Nastolatkom pokazywano na ekranie przez 0,2 sekundy różne liczby żółtych i niebieskich kropek naraz, a następnie pytano tylko o to, czy więcej było kropek niebieskich, czy żółtych. Wyniki były zaskakujące dla naukowców, ponieważ dowodziły nieoczekiwanie dużych zmienności w odpowiedziach. Niektórzy uczniowie potrafili bez trudu wskazać różnicę między 9 niebieskimi kropkami a 10 żółtymi, inni jednak mieli umiejętności porównywalne z niemowlętami – ledwie byli w stanie stwierdzić, czy 5 żółtych kropek to więcej niż 3 niebieskie.

Jeszcze bardziej zdumiewającego odkrycia dokonano, kiedy wyniki nastolatków w zakresie porównywania kropek zestawiono z ich ocenami z matematyki od zerówki. Badacze założyli wcześniej, że intuicyjna zdolność rozróżniania ilości nie wpływa zbytnio na poziom ucznia w takich zadaniach, jak rozwiązywanie równań czy rysowanie trójkątów. Odkryli jednak silną korelację między talentem do szacowania a sukcesami w matematyce formalnej. Im lepsze szacunkowe wyczucie liczb, tym większe, jak się zdaje, prawdopodobieństwo uzyskiwania dobrych stopni. Może to mieć poważne znaczenie dla edukacji. Jeśli dar szacowania sprzyja uzdolnieniom matematycznym, to być może lekcje matematyki w mniejszym stopniu powinno się poświęcać tabliczce mnożenia, a w większym doskonaleniu umiejętności porównywania zbiorów kropek.

Wspomniany wcześniej Stanislas Dehaene jest czołową postacią interdyscyplinarnego nurtu badań nad umysłowymi reprezentacjami liczb (ang. numerical cognition). Zaczynał jako matematyk, a teraz jest neurobiologiem, profesorem Collège de France i dyrektorem laboratorium badającego neuroobrazowanie funkcji poznawczych INSERM-CEA należącego do NeuroSpinu, supernowoczesnego instytutu badawczego pod Paryżem. Wkrótce po wydaniu w 1997 roku książki The Number Sense umówił się na lunch w restauracji paryskiego Cité des Sciences et de l’Industrie z psycholog rozwojową z Harvardu Elizabeth Spelke. Przypadkiem usiedli obok Pierre’a Piki. Językoznawca opowiedział o swoich doświadczeniach z Munduruku i po pasjonującej rozmowie naukowcy postanowili podjąć współpracę. Możliwość badania społeczności, która nie wykształciła liczenia, stanowiła fantastyczną okazję dla nowych testów.

Dehaene opracował eksperymenty, które Pica miał przeprowadzić w Amazonii. Jeden był bardzo prosty: uczony chciał się dowiedzieć, co Indianie rozumieją przez swoje liczebniki. W lesie deszczowym Pica zebrał grupę ochotników i pokazał im różne liczby kropek na ekranie, prosząc o wypowiedzenie na głos liczby kropek, jaką widzą.

Liczby Munduruku to:

jeden — pũg

dwa — xep xep

trzy — ebapug

cztery — ebadipdip

pięć — pũg pogbi

Kiedy na ekranie była 1 kropka, Munduruku odpowiadali pũg. Kiedy były 2 kropki, mówili xep xep. Ale powyżej 2 byli nieprecyzyjni. Kiedy pokazały się 3 kropki, odpowiedź ebapug padała tylko w około 80 procentach przypadków. Reakcją na 4 kropki ebadipdip było tylko w 70 procentach przypadków. Kiedy pokazano 5 kropek, tylko w 28 procentach przypadków odpowiedź brzmiała pũg pogbi, a w 15 procentach – ebadipdip. Innymi słowy, dla 3 i więcej liczebniki Munduruku były w istocie jedynie szacunkowe. Indianie liczyli „jeden”, „dwa”, „około trzech”, „około czterech”, „około pięciu”. Pica zaczął się zastanawiać, czy pũg pogbi, które dosłownie znaczy „garść”, w ogóle zalicza się do liczb. Może Munduruku nie potrafili liczyć do 5, a jedynie do „około czterech”?

Pica zauważył również pewną interesującą cechę językową liczebników Munduruku. Pokazał mi, że od 1 do 4 liczba sylab w każdym liczebniku równa jest samej liczbie. Spostrzeżenie to naprawdę go podekscytowało.

– To tak, jakby sylaby były słuchowym sposobem liczenia – powiedział.

Tak samo jak Rzymianie liczyli I, II, III oraz IIII, ale przechodzili na V przy 5, Munduruku zaczynali od 1 sylaby na 1, dodawali kolejną na 2, następną na 3 i jeszcze następną na 4, ale nie używali 5 sylab w przypadku 5. Choć liczebników oznaczających 3 i 4 nie używano w sposób precyzyjny, zawierały one precyzyjne liczby sylab. Kiedy liczba sylab nie miała już znaczenia, słowo może w ogóle nie było liczebnikiem.

– To jest niesamowite, bo najwyraźniej potwierdza ideę, że ludzie mają system liczbowy pozwalający na precyzyjne śledzenie do 4 przedmiotów naraz – powiedział Pica.

Pica badał również zdolności Munduruku do szacowania wielkich liczb. W jednym z testów, zilustrowanym na następnej stronie, ochotnikom pokazywano animację komputerową przedstawiającą 2 zbiory kilku kropek spadających do puszki. Następnie proszono ich, by powiedzieli, czy te 2 zbiory zsumowane w puszce – niewidoczne już do porównania – wynosiły więcej niż 3. zbiór kropek, który później pojawiał się na ekranie. Sprawdzano w ten sposób, czy Munduruku potrafią dodawać w szacunkowy sposób. Okazało się, że radzą sobie równie dobrze, jak grupa dorosłych Francuzów, która otrzymała takie samo zadanie.

Szacunkowe dodawanie i porównywanie.

W kolejnym eksperymencie komputer Piki wyświetlał animację, na której do puszki wpadało 6 kropek, a wypadały 4 kropki. Badani mieli wybrać 1 z 3 odpowiedzi określających, ile kropek zostało w puszce. Innymi słowy, ile jest 6 – 4? To zadanie miało pokazać, czy Munduruku rozumieją precyzyjne liczby, dla których nie mają liczebników. Nie potrafili wykonać tego zadania. Przy animacji z odejmowaniem, w której było 6, 7 lub 8 kropek, nie umieli znaleźć rozwiązania.

– Nie potrafili wykonywać obliczeń nawet w prostych przypadkach – stwierdził Pica.

Precyzyjne odejmowanie.

Wyniki eksperymentów z kropkami pokazały, że Munduruku biegle radzą sobie z przybliżonymi ilościami, ale z precyzyjnymi liczbami powyżej 5 idzie im fatalnie. Pica był zafascynowany podobieństwami między Munduruku a ludźmi Zachodu: jedni i drudzy mają w pełni sprawny, precyzyjny system śledzenia małych liczb oraz szacunkowy system do większych liczb. Istotna różnica polega na tym, że Munduruku nie potrafią połączyć ze sobą tych 2 niezależnych systemów, by wyjść poza liczbę 5. Pica twierdzi, że utrzymywanie odrębności tych systemów musi być bardziej przydatne. Uważa on, że w interesie zachowania różnorodności kulturowej należy próbować chronić sposób liczenia Munduruku, któremu z pewnością zagrozi nieuniknione nasilenie kontaktów między Indianami a brazylijskimi osadnikami.

Fakt, że są Munduruku, którzy nauczyli się liczyć po portugalsku, a mimo to nie potrafią pojąć podstaw arytmetyki, świadczy o sile ich własnego systemu matematycznego i o tym, jak dobrze dostosowany jest do ich potrzeb. Pokazuje również, jak trudny musi być skok pojęciowy do prawdziwego rozumienia precyzyjnych liczb powyżej liczby 5.

A może ludzie potrzebują słów na oznaczenie liczb powyżej 4, aby móc je właściwie rozumieć? Profesor Brian Butterworth z University of London sądzi, że tak nie jest. Uważa, że mózg wyróżnia wrodzona zdolność do rozumienia precyzyjnych liczb, którą uczony nazywa „modułem precyzyjnych liczb” (ang. exact number module). Zgodnie z jego interpretacją ludzie rozumieją precyzyjne liczby przedmiotów w małych zbiorach, a dodając do tych zbiorów po jednym elemencie, możemy pojąć, jak zachowują się większe liczby. Butterworth prowadzi badania w jedynym poza Amazonią miejscu, gdzie mieszkają rdzenne grupy niemające prawie żadnych liczebników: w australijskim buszu.

Społeczność Aborygenów Walpiri żyje niedaleko Alice Springs i posługuje się tylko 3 liczebnikami: 1, 2 i wiele, a Anindilyakwa z wyspy Groote Eylandt w zatoce Karpentaria mają słowa jedynie na oznaczenie 1, 2, 3 (które czasami oznacza 4) i wiele. W pewnym eksperymencie z udziałem dzieci z obu grup stukano patykiem w drewniany kloc do 7 razy, a na macie kładziono żetony. Czasami liczba stuknięć odpowiadała liczbie żetonów, a czasami nie. Dzieci doskonale potrafiły określić, kiedy liczby pasowały, a kiedy nie. Butterworth dowodził, że aby podać prawidłową odpowiedź, dzieci tworzyły umysłową reprezentację precyzyjnej liczby, na tyle abstrakcyjną, że mogła reprezentować wyliczanie zarówno słuchowe, jak i wzrokowe. Dzieci te nie znały liczebników 4, 5, 6 i 7, a mimo to doskonale potrafiły przechowywać te ilości w głowie. Słowa, jak podsumował Butterworth, przydają się do rozumienia dokładności, ale nie są niezbędne.

Innym ważnym przedmiotem zainteresowania Butterwortha oraz Dehaene’a  jest dyskalkulia nazywana też „ślepotą matematyczną”, czyli zaburzenie przejawiające się niesprawnym zmysłem liczby. Szacuje się, że dotyka ono od 3–6 procent populacji. Dyskalkulicy nie „kumają” liczb w taki sposób, jak większość ludzi. Na przykład: która z tych dwóch liczb jest większa?

65         24

Proste, 65. Niemal każdy z nas poda poprawną odpowiedź w ciągu niespełna 0,5 sekundy. Temu jednak, kto ma dyskalkulię, może to zająć nawet 3 sekundy. Natura tego zaburzenia różni się u poszczególnych osób, ale ci, u których ją zdiagnozowano, często mają problemy z kojarzeniem symbolu liczby, dajmy na to 5, z liczbą przedmiotów, jakie ów symbol oznacza. Mają również trudności z liczeniem. Dyskalkulia nie równa się nieumiejętności liczenia, jednak dyskalkulicy zwykle pozbawieni są elementarnej intuicji dotyczącej liczb i dlatego w codziennym życiu stosują alternatywne strategie radzenia sobie z liczbami, na przykład częściej używają palców. W przypadku silnych zaburzeń ledwie potrafią odczytać czas.

Jeśli ze wszystkich przedmiotów w szkole szło ci dobrze, ale klasówka z matematyki stanowiła dla ciebie trudność nie do pokonania, być może masz dyskalkulię. (Choć ktoś, kto zawsze oblewał matmę, pewnie nie czyta tej książki). Zaburzenie to uważa się za główną przyczynę niskiego poziomu umiejętności matematycznych. Zrozumienie dyskalkulii ma istotne znaczenie społeczne, ponieważ dorosłe osoby o niskich umiejętnościach matematycznych znacznie częściej bywają bezrobotne lub popadają w depresję. Dyskalkulia jest jednak słabo poznana. Można ją uznać za liczbową wersję dysleksji – oba zaburzenia są porównywalne pod tym względem, że dotykają mniej więcej takiego samego odsetka populacji i najwyraźniej nie mają związku z inteligencją ogólną. O dysleksji wiadomo jednak o wiele więcej niż o dyskalkulii. Szacuje się, że artykułów naukowych na temat dysleksji jest 10 razy więcej niż na temat dyskalkulii. Badania nad dyskalkulią są tak daleko w tyle między innymi dlatego, że nieradzenie sobie z matematyką może mieć wiele innych przyczyn – przedmiot ten często jest źle nauczany w szkole, poza tym łatwo zostać w tyle, jeśli straci się lekcje, na których wprowadzano zasadnicze pojęcia. Nie bez znaczenia jest też fakt, że braki w liczeniu nie wiążą się z tak silnym tabu społecznym, jak kłopoty z czytaniem.

Butterworth często pisze referencje dla osób, które badał pod kątem dyskalkulii, wyjaśniając potencjalnym pracodawcom, że kiepskie oceny z matematyki nie są wynikiem lenistwa ani braku inteligencji. Dyskalkulicy mogą odnosić sukcesy we wszystkich innych dziedzinach poza liczbami. Można nawet, twierdzi Butterworth, być dyskalkulikiem i być bardzo dobrym z matematyki. Istnieje kilka gałęzi matematyki, takich jak logika lub geometria, w których ważniejsze są rozumowanie dedukcyjne czy świadomość przestrzenna niż biegłość w liczbach i równaniach. Zwykle jednak dyskalkulicy nie radzą sobie z matematyką.

Większość badań nad dyskalkulią ma charakter behawioralny – prowadzi się między innymi badania przesiewowe dziesiątek tysięcy uczniów w postaci testów komputerowych. Należy w nich odpowiedzieć, która z 2 liczb jest większa. Prowadzi się również badania neurologiczne, w których przy użyciu rezonansu magnetycznego analizuje się mózgi dyskalkulików i niedyskalkulików pod kątem różnic w połączeniach neuronalnych. W naukach kognitywnych postęp w rozumieniu jakiejś zdolności umysłowej często dokonuje się dzięki analizie przypadków upośledzenia tej zdolności. Stopniowo wyłania się wyraźniejszy obraz tego, czym jest dyskalkulia oraz jak pojęcie liczby działa w mózgu.

Właśnie neurobiologia jest źródłem części najbardziej elektryzujących nowych odkryć w dziedzinie umysłowych reprezentacji liczb. Dzisiaj można już zobaczyć, co dzieje się z pojedynczymi neuronami w mózgu małpy, kiedy małpa myśli o precyzyjnej liczbie kropek.

Andreas Nieder z Eberhardt Karls Universität Tübingen w południowych Niemczech wyszkolił makaki rezusy, by myślały o liczbie. Oto jak tego dokonał. Pokazywał im najpierw jeden zbiór kropek na komputerze, a po jednosekundowej przerwie drugi zbiór kropek. Małpy uczono, że jeśli drugi zbiór równy był pierwszemu, to po naciśnięciu dźwigni otrzymają nagrodę w postaci łyku soku jabłkowego. Jeśli drugi zbiór nie był równy pierwszemu, nie było też soku. Po około roku małpy nauczyły się naciskać dźwignię tylko wtedy, gdy liczba kropek na pierwszym i drugim ekranie była taka sama. Nieder razem ze współpracownikami uznał, że w czasie jednosekundowej przerwy między obrazami małpy myślą o liczbie kropek, jaką właśnie widziały.

Nieder postanowił sprawdzić, co dzieje się w mózgu małp w chwili przechowywania liczby w głowie. Przez otwór w czaszce umieścił w tkance nerwowej elektrodę o średnicy 2 mikronów. Proszę się nie martwić, żadnej małpie nie stała się krzywda. Tak maleńka elektroda wchodzi w mózg, nie powodując uszkodzeń ani bólu. (Wstawianie elektrod do mózgu człowieka dla celów badawczych jest niezgodne z zasadami etycznymi, choć jest dopuszczalne dla celów terapeutycznych, na przykład w leczeniu padaczki). Nieder skierował elektrodę w stronę części kory przedczołowej małpy i rozpoczął eksperyment.

Elektroda była tak czuła, że mogła wychwycić wyładowania elektryczne w pojedynczych neuronach. Nieder zaobserwował, że kiedy małpy myślały o liczbach, pewne neurony stawały się bardzo aktywne. Zapalała się cała połać mózgu.

Po dokładniejszej analizie dokonał fascynującego odkrycia. Wrażliwe na liczby neurony reagowały różnymi wyładowaniami w zależności od tego, o jakiej liczbie małpa myślała w danym momencie. Każdy neuron miał „preferowaną” liczbę, która aktywowała go najbardziej. Była na przykład populacja kilku tysięcy neuronów, które upodobały sobie 1. Neurony te świeciły jasno, kiedy małpa myślała o 1, słabiej, kiedy myślała o 2, a jeszcze słabiej, kiedy myślała o 3 i tak dalej. Był też zbiór neuronów, który wolał 2. Neurony te świeciły najjaśniej, kiedy małpa myślała o 2, słabiej, kiedy myślała o 1 lub 3, jeszcze słabiej, gdy małpa myślała o 4. Kolejna grupa neuronów okazywała się amatorami 3, a następna 4. Nieder przeprowadził eksperymenty aż do 30 i dla każdej liczby znalazł neurony, które ją preferowały.

Wyniki te mogą wyjaśniać, dlaczego nasza intuicja faworyzuje szacunkowe rozumienie liczb. Kiedy małpa myśli „cztery”, najbardziej aktywne są oczywiście neurony preferujące 4. Ale aktywne są też, choć słabiej, neurony specjalizujące się w 3 lub 5, ponieważ mózg myśli również o liczbach sąsiadujących z 4. „To rozmyty zmysł liczby – wyjaśnił Nieder. – Małpy potrafią reprezentować liczność jedynie w przybliżony sposób”.

Jest niemal pewne, że tak samo dzieje się w mózgu człowieka. W związku z tym nasuwa się interesujące pytanie. Jeśli nasz mózg może reprezentować liczby jedynie w przybliżeniu, to jak w ogóle zdołaliśmy „wynaleźć” liczby? Nieder stwierdził, że „precyzyjny zmysł liczby jest [wyłącznie] ludzką cechą, która wywodzi się prawdopodobnie z naszej zdolności do bardzo precyzyjnego reprezentowania liczby za pomocą symboli”. Przemawia to za stanowiskiem, że liczby są artefaktem kulturowym, konstruktem stworzonym przez człowieka, a nie czymś, co jest nam wrodzone.

ROZDZIAŁ PIERWSZYLiczenie po innemu

W Lincolnshire w czasach średniowiecza pimp (alfons) plus dik (penis) równało się bumfit (kojarzy się ze stosunkiem seksualnym). Nie było w tym nic zdrożnego. Słowa te po prostu oznaczały liczby 5, 10 i 15 w żargonie używanym przez pasterzy podczas liczenia owiec. Pełny ciąg był następujący:

yan

tan

tethera

pethera

pimp

sethera

lethera

hovera

covera

dik

yan-a-dik

tan-a-dik

tethera-dik

pethera-dik

bumfit

yan-a-bumfit

tan-a-bumfit

tethera-bumfit

pethera-bumfit

figgit

Różni się to bardzo od naszego współczesnego sposobu liczenia, i to nie tylko z powodu innego zasobu słów. Pasterze z Lincolnshire porządkowali liczby w dwudziestki – zaczynali liczyć od yan, a kończyli na figgit. Jeśli pasterz miał więcej niż 20 owiec – i o ile przy okazji nie zasnął – to po zakończeniu jednego cyklu wkładał kamyk do kieszeni, rysował znak na ziemi lub nacinał kreskę na kiju pasterskim. Potem rozpoczynał od nowa: „Yan, tan, tethera…”. Jeśli owiec było 80, to na koniec miał 4 kamyki w kieszeni lub 4 kreski na kiju. Dla pasterza system ten jest bardzo wydajny: 4 małe przedmioty symbolizują 80 dużych.

Dzisiaj grupujemy liczby w dziesiątki, więc nasz system liczbowy ma 10 cyfr – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Liczność takiej grupy podstawowej, która często jest zarazem liczbą używanych symboli, nazywa się podstawą systemu liczbowego, a zatem nasz system ma podstawę 10, a podstawą pasterzy z Lincolnshire jest 20.

Bez rozsądnej podstawy nie da się sensownie liczyć. Wyobraź sobie, że pasterz ma system o podstawie 1, co oznaczałoby, że posługuje się tylko liczebnikiem yan: 2 byłoby wtedy yan yan, a 3 – yan yan yan. 80 owiec to osiemdziesięciokrotne powtórzenie słowa yan. System taki jest nieprzydatny do liczenia powyżej 3. Dla odmiany wyobraź sobie, że każda liczba ma własną, unikalną nazwę – policzenie do 80 wymagałoby zapamiętania 80 niepowtarzalnych słów. Jak w ten sposób policzyć do 1000!

W wielu odizolowanych społecznościach nadal używa się niekonwencjonalnych podstaw. Na przykład Indianie Arara z Amazonii liczą dwójkami, a liczby od 1 do 8 wyglądają następująco: anane, adak, adak anane, adak adak, adak adak anane, adak adak adak, adak adak adak anane, adak adak adak adak. Liczenie dwójkami nie stanowi wielkiego postępu w stosunku do liczenia jedynkami. Aby wyrazić liczbę 100, trzeba powtórzyć adak 50 razy z rzędu – targowanie się o cenę byłoby więc dość czasochłonne. W Amazonii spotyka się również systemy, w których liczby grupowane są trójkami i czwórkami.