Die Mathematik im Altertum - Wolfgang Hein - ebook

Die Mathematik im Altertum ebook

Wolfgang Hein

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Opis

Wo liegen die Anfänge der Mathematik? Wann und wo entstanden Arithmetik und Geometrie? Mathematik wie wir sie heute kennen und in nahezu allen Lebensbereichen bewusst oder unbewusst anwenden, beginnt nach landläufiger Meinung im klassischen Griechenland. Doch die Anfänge der Mathematik reichen weiter zurück bis zu den antiken Hochkulturen von Mesopotamien und Ägypten. Wolfgang Hein nimmt den Leser mit auf eine Reise zu diesen alten Kulturen und unternimmt dabei auch Abstecher nach Indien und China. Doch nicht nur dort beschäftigte man sich schon früh mit Zahlen und mathematischen Problemen und so führt die Reise durch die Mathematikgeschichte bis nach Afrika und Amerika – etwa zu den alten Hochkulturen der Inka. Der Autor bietet dabei nicht nur eine grundlegende Mathematikgeschichte des Altertums, sondern arbeitet Querbezüge zwischen den mathematischen Wissenschaften und anderen Bereichen des antiken Lebens heraus.

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Wolfgang Hein

Mathematik im Altertum

Von Algebra bis Zinseszins

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Impressum

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikationin der Deutschen Nationalbibliografie;detaillierte bibliografische Daten sind im Internet überhttp://dnb.d-nb.de abrufbar.

Das Werk ist in allen seinen Teilen urheberrechtlich geschützt.Jede Verwertung ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig.Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen,Mikroverfilmungen und die Einspeicherung in und Verarbeitungdurch elektronische Systeme.

© 2012 by WBG (Wissenschaftliche Buchgesellschaft), DarmstadtDie Herausgabe des Werkes wurde durchdie Vereinsmitglieder der WBG ermöglicht.

Satz: PTP-Berlin Protago-TEX-Production GmbH, www.ptp-berlin.de

Besuchen Sie uns im Internet: www.wbg-wissenverbindet.de

ISBN 978-3-534-24824-7

Elektronisch sind folgende Ausgaben erhältlich:eBook (PDF): 978-3-534-72570-0eBook (epub): 978-3-534-72571-7

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Vorwort

Mathematik, wie wir sie heute kennen und in nahezu allen Lebensbereichen bewusst oder unbewusst anwenden, hat ihre Wurzeln im antiken Griechenland. Diese unbestreitbare Tatsache bedeutet aber keineswegs, dass griechische Mathematiker das imposante Gebäude ihrer Mathematik sozusagen aus dem Nichts heraus geschaffen hätten. Wir wissen, dass die Griechen auf verschiedenen Wegen und auf verschiedenen Gebieten des Geisteslebens Anregungen im Orient gesucht und gefunden haben. Dass dies auch für die Mathematik gilt, wurde eindrucksvoll bestätigt durch archäologische Funde, die im 19. und dem frühen 20. Jahrhundert im Vorderen Orient und in Ägypten gemacht wurden und überwiegend aus dem beginnenden 2. Jahrtausend v. Chr. stammen.

Weniger gut, doch nicht aussichtslos, ist die Quellenlage zur alten, aber wesentlich jüngeren indischen und chinesischen Mathematik. Die Sache wird dadurch erschwert, dass über das Alter der Quellen weitgehend Unklarheit besteht, jedoch dürften sie kaum weiter zurückreichen als bis in die Anfänge der griechischen Antike. Es ist daher nicht verwunderlich, dass man nicht selten auf Parallelen stößt, die Verbindungen mit dem Vorderen Orient und mit Griechenland nahe legen.

In Teil I dieses Buches wird versucht, ein Bild davon zu vermitteln, welches die allgemein- und geistesgeschichtlichen Voraussetzungen und Grundlagen für die Mathematik in den frühen Hochkulturen waren: von wem und zu welchem Zweck Mathematik „gemacht“ wurde, wie die verschiedenen Kulturen gleiche oder ähnliche Probleme gesehen, bearbeitet und – vielleicht – gelöst haben, und unter welchen Bedingungen ähnliche oder ganz verschiedene Strategien entwickelt wurden. Für die frühen Hochkulturen schien eine thematische Gliederung besser geeignet als eine nach Regionen und Zeiten.

Mit Thales und den frühen Pythagoreern begann ein Paradigmenwechsel, wie man ihn sich drastischer kaum vorstellen kann. Deshalb schien es nötig, die griechische Mathematik getrennt von den Themenbereichen der frühen Hochkulturen zu behandeln, was in Teil II geschieht. Das ändert aber nichts daran, dass sich hier die gleichen oder jedenfalls ähnliche Fragen stellen, wenn auch unter sehr verschiedenen Bedingungen: Was waren die historischen, geistesgeschichtlichen Voraussetzungen, welches waren die Einflüsse, woher kamen die Inspirationen, was ist eigentlich das typisch Griechische an der griechischen Mathematik? Das kann selbstverständlich nicht ohne Bezugnahme auf die Errungenschaften der alten Hochkulturen erhellt werden.

Wir geben deshalb in der Einleitung einen kurzen Abriss dessen, was über die schriftlose Zeit mit einiger Gewissheit gesagt werden kann; wirklich sichere Auskünfte sind hier kaum möglich. Was Karl Jaspers für die Philosophie hervorhebt, gilt ebenso für die Mathematik:

„Der eigenständige Ursprung der Philosophie ist gleichsam geborgen in einem Anderen, aus dem er sich nährt oder dem er sich entgegen-stellt.“ [Jaspers, S. 8]

Bei dem Umfang des Buches konnte das Vorhaben selbstverständlich nur unter wesentlichen Einschränkungen bei der Stoffauswahl ausgeführt werden. Dennoch wurde versucht, die oben angedeuteten Kriterien wenigstens durch eine möglichst charakteristische Auswahl zu erfüllen.

Siegen, im Frühjahr 2012

Wolfgang Hein

Inhaltsverzeichnis

Vorwort

Einleitung – Zahlen und Figuren in der Vorgeschichte

Teil I: Die Mathematik in den alten Hochkulturen

1. Wozu Mathematik?

1.1 Geschichtliche Grundlagen

1.2 Technische und wirtschaftliche Erfordernisse

1.3 Ausbildung und Berufspraxis

1.4 Astronomie, Astrologie und Kalenderberechnung

1.5 Mathematik in Philosophie, Theologie und Kunst

1.6 Mathematik zur Bildung und Unterhaltung

2. Arithmetik und Algebra

2.1 Zahlschrift und Zahlsysteme

2.2 Der Weg der indischen Ziffern ins Abendland

2.3 Die Grundrechenarten

2.4 Proportionale Verteilungen, Zinsrechnungen, Dreisatz

2.5 Arithmetische und geometrische Folgen und Reihen

2.6 Lineare, quadratische und kubische Gleichungen

2.7 Unbestimmte Gleichungen

2.8 Negative Zahlen in China und Indien?

2.9 Vom Nutzen algebraischer Symbolik

3. Geometrie

3.1 Landvermesser oder Priester? – Über die „Erfinder“ der Geometrie

3.2 Die Sätze von Thales und Pythagoras

3.3 Seilspanner, Schnurregeln und pythagoreische Zahlentripel

3.4 Flächen- und Körperberechnungen

3.5 Welches π? – Kreisberechnung

3.6 Anfänge der Trigonometrie

Teil II: Die Mathematik im alten Griechenland

4. Vorbereitungen

4.1 Geschichtliche Grundlagen

4.2 Vom Mythos zum Logos – Der ionische Rationalismus

4.3 Mensch und Kosmos – Die Pythagoreer

4.4 Parmenides und das tertium non datur

4.5 Logistik – Mathematik für den Alltag

5. Auf dem Weg zu einer beweisenden Wissenschaft – Die Frühzeit

5.1 Thales und die Geometrie

5.2 Alles ist Zahl – Die pythagoreischen mathémata oder das Quadrivium

5.3 Ist alles Zahl? Inkommensurabilität und das Irrationale

5.4 Zenon von Elea, Achilles, die Schildkröte und das Unendlichkleine

5.5 Eine neue Proportionenlehre – Bedeutung und Nachleben

5.6 Quod erat demonstrandum – Die deduktive Methode

6. Ausbau und Vertiefung – Athen oder Die klassische Zeit

6.1 Licht und Schatten – Platon über Mathematik

6.2 Lernen oder Erinnern – Sokrates, Menon und die Quadratverdopplung

6.3 Eine Frage der Ästhetik – Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

6.4 Elemente des Universums – Die platonischen Körper

6.5 Die „klassischen“ Probleme und die Möndchen des Hippokrates

6.6 Exhaurire – Wie berechnet man krummlinig begrenzte Flächen?

7. Alexandria – Glanz und Elend der griechischen Mathematik

7.1 Ein Lehrbuch für Jahrtausende – Die „Elemente“ Euklids

7.2 Ein Lehrbuch für Kenner – Die Conica des Apollonius

7.3 Archimedes und die Rolle der Heuristik in der Mathematik

7.4 Zurück nach Babylon – Diophant und die Algebra

7.5 Das goldene Erbe – Handbücher und Kommentare

7.6 Mathematik zur Erbauung – Die Epigramme des Metrodoros

Literaturverzeichnis

Personen- und Sachverzeichnis

Einleitung – Zahlen und Figuren in der Vorgeschichte

Die Schaffung eines Zahlsystems, in dem Zahlen beliebiger Größe leicht überschaubar und praktisch handhabbar dargestellt werden können, ist eine der großen geistigen und sozialen Leistungen des Menschen. Die ältesten uns bekannten schriftlichen Quellen zur Mathematikgeschichte zeigen, dass die Arithmetik (Aufbau des Zahlensystems und der Grundrechenarten) ebenso wie die Geometrie am Beginn der geschichtlichen Zeit schon ein beträchtliches Niveau erreicht hatte. Es muss demnach in vorgeschichtlicher Zeit eine lange Phase mathematischer Tätigkeit gegeben haben.

Bei der Herausbildung eines Zahlbegriffs kann man zwei Phasen unterscheiden: das Vergleichen von Mengen hinsichtlich der Anzahl ihrer Elemente (heute reden wir von der „Kardinalzahl“) und das „geordnete“ Abzählen (die Ordinalzahl).

Das Bewusstsein eines Kardinalzahlbegriffs als Mächtigkeit endlicher Mengen, zuerst kleiner, dann größerer, wird wohl so alt sein wie die Menschheit selbst. In der Anthropologie ist bekannt, dass es einfache Kulturen gibt, in denen Hirten intuitiv erkennen, ob bei ihrer Herde von einigen hundert Tieren eines oder mehrere fehlen, ohne dass sie die Herde abzählen könnten.

Ein erheblicher Abstraktionsschritt besteht darin, dass man eine gegebene Menge mit einer anderen gleichmächtigen, selbst geschaffenen, leichter überschaubaren Hilfsmenge bewusst in Beziehung setzt.

Eine solche gliedweise Zuordnung (ohne wirklich zu zählen) bietet allerdings nur dann Vorteile, wenn die Hilfsmengen in irgendeiner Weise strukturiert sind oder strukturiert werden. Eine sinnvolle, leicht überschaubare Strukturierung ist ein wichtiger Fortschritt in der Entwicklung des Zahlbegriffs. Sie besteht in einem frühen Stadium in der Regel darin, dass Strichlisten in Form von Kerben auf Hölzern, Knochen oder ähnlichem Material angelegt werden und dabei kleinere, auf einen Blick fassbare Gruppen gebildet und als neue Einheiten aufgereiht werden.

Steinzeitliche Knochenfunde bestätigen diese Praxis des „Bündelns“ und „Reihens“. Auf einem etwa 30.000 (?) Jahre alten Wolfsknochen erkennt man 55 Kerben (vielleicht als Beuteangabe) mit einer größeren Kerbe bei 25, und eine genauerer Untersuchung des Fundstücks hat Hinweise auf eine 5er-Einteilung ergeben.

Weitere Knochenfunde stammen meist aus der ausgehenden Altsteinzeit oder der mittleren Steinzeit (ca. 10.000–5000 v. Chr.). Auch hier finden sich Gruppierungen der Kerben, ein eindeutiges System lässt sich aber nicht erkennen.

Bemerkenswert ist, dass die meisten Völker Bündelungen bei 10 (Zehnerpotenzen) vorgenommen, also ein Zehnersystem eingeführt haben. Dies mag wohl auf die natürlich vorgegebene Struktur des Fingerzählens zurückzuführen sein. Untersuchungen von 387 Zahlensystemen bei primitiven amerikanischen Gesellschaften haben 146 Zehnersysteme, 106 Fünfersysteme, 81 Zweiersysteme, 35 Zwanzigersysteme, 15 Vierersysteme, 3 Dreiersysteme und 1 Achtersystem ergeben.

Auf dem bisher skizzierten Niveau der Herausbildung eines Zahlbegriffes benötigt man weder sprachliche Ausdrucksformen, also Zahlwörter, noch braucht man überhaupt zählen zu können; auch Zahlzeichen werden nicht benötigt.

Anders verhält es sich mit der „Ordinalzahl“. Das Zählen (genauer: Abzählen) setzt das Vorhandensein von Zahlwörtern voraus, ist also an die Sprache gebunden.

Dass ein perfektes Zahlsystem nicht an die Schrift gebunden ist, belegt eindrucksvoll das folgende Beispiel. Im peruanischen Hochland haben die Inka eine technisch und ökonomisch hochentwickelte, aber dennoch schriftlose Kultur begründet. Für Zwecke der Kommunikation und des wirtschaftlichen Austausches hat man als Ersatz eine Notation erfunden, die darauf beruhte, auf Schnüren Knoten anzubringen. Diese sogenannten „Quipus“ waren ein brauchbares Hilfsmittel zur Darstellung – und zur Übermittlung – von Zahlen (Abb. 2).

Abb. 2: Peruanischer Quipu. Rechts: Prinzip der Zahldarstellung. Die Hunderter sind oben, darunter die Zehner, darunter die Einer geknotet. Die Schnüre (von rechts nach links) tragen die Zahlen 231, 42, 150, die „Kopfschnur“ K trägt die Summe 423 [Menninger Bd. II, S. 60f.].

Zum wirklichen, zum bewussten Rechnen, das heißt zum Rechnen nach einem festen Schema, einem „Algorithmus“, ist gewiss ein weiter Weg. Da die Hochkulturen beim Eintritt in die geschichtliche Zeit diese „algorithmische Phase“ bereits erreicht haben, muss dem eine lange, „präalgorithmische Phase“ vorausgegangen sein.

Die Darstellung von Zahlen durch Kerben, Steinhäufchen oder ähnlichem führt in natürlicher Weise zu den Grundoperationen des Addierens und Subtrahierens, was ja nichts anderes bedeutet als „hinzufügen“ und „wegnehmen“.

Schwieriger und vielfältiger in der Ausführung sind Divisionen. Wir werden das in den betreffenden Kapiteln im Einzelnen behandeln, einschließlich der Bruchrechnung, die im Allgemeinen eine eigene Entwicklung gemacht hat.

Von den bis hierher gestreiften Entwicklungsstufen hin zu einem abstrakten Zahlsystem, in dem beliebig große Zahlen dargestellt werden können, und das für ein algorithmisches Rechnen geeignet ist, bleibt noch ein weiter Weg zurückzulegen, und die Quellen aus der folgenden Zeit zeigen, dass man beim Eintritt in die geschichtliche Zeit noch keineswegs am Ziel angelangt war.

Wie verhält es sich mit der anderen Säule der Mathematik, der Geometrie? Ihre Anfänge wurden von den Griechen den alten Ägyptern zugeschrieben, von Herodot den Landvermessern, von Aristoteles der Muße der Priester. Beide haben zweifellos das Alter der Geometrie unterschätzt. Die Menschen der Steinzeit hatten sicher keinen Bedarf an Grundstücksvermessungen und vermutlich wenig Grund zur Langeweile. Dennoch finden wir einen ausgeprägten Sinn für geometrische Figuren, der eine Voraussetzung jeder geometrischen Wissenschaft ist.

Die reichen Ornamente auf keramischen Erzeugnissen und auf Web- und Flechtwaren einfacher Kulturen geben ein beredtes Zeugnis vom Bestreben der Menschen, ihre Werke nicht nur nach zufälligen Eingebungen zu gestalten, sondern nach Gesetzen der Regelmäßigkeit, Symmetrie und Kongruenz – alles wichtige Merkmale der Geometrie. Gleichseitiges Dreieck, Quadrat, Kreis und aus diesen regelmäßig zusammengesetzte Figuren machen manche geometrischen Sachverhalte unmittelbar einsichtig.

Sowohl ästhetische Aspekte als auch praktische Erwägungen der Haltbarkeit und des Materialverbrauchs, des Konstruierens und Messens können als Vorbereitung auf geometrische Studien angesehen werden. Es soll hier nicht behauptet werden, dass steinzeitliche Menschen sich solche oder ähnliche Sachverhalte bewusst gemacht hätten, aber ein allmähliches Bewusstwerden von geometrischen Gesetzmäßigkeiten durch geometrische Betätigung darf man auf Grund der Fundstücke und der Hinweise auf die Lebensumstände ihrer Schöpfer wohl annehmen.

Abb. 3: Prähistorische indianische Webware (links) und neolithische Keramik aus Ungarn (rechts), Beispiele geometrischer Intuition.

Teil IDie Mathematik in den alten Hochkulturen

1. Wozu Mathematik?

1.1 Geschichtliche Grundlagen

Mathematik ist wie jede Wissenschaft Teil des kulturellen Schaffens der Menschen und deshalb Teil der allgemeinen geschichtlichen Entwicklung. Man kann Mathematik, ihre Wege und Umwege, Erfolge und Misserfolge, nicht begreifen, ohne die Anregungen zu kennen, die sie aus anderen Bereichen der Kultur erhalten hat und ohne die Wirkungen zu studieren, die von ihr ausgegangen sind. Wir werden deshalb in diesem Abschnitt in Kürze und zum Teil stichwortartig einige grundlegende Fakten aus der Geschichte der frühen Hochkulturen entfalten und einen ersten Blick auf die mathematikhistorisch relevanten Quellen und Entwicklungen werfen. Selbstverständlich kann es sich dabei nur um einen groben Abriss handeln, der in den einzelnen Kapiteln nach Bedarf ergänzt wird. Die Geschichte der griechischen Antike wird zunächst ausgeklammert und in Teil II behandelt.

Der überwiegende Teil mathematischer Quellen der frühen Hochkulturen stammt aus Mesopotamien. Wir beginnen deshalb hier, im „Land zwischen den Flüssen“, unseren historischen Abriss.

Am Unterlauf von Euphrat und Tigris (im heutigen Irak) siedelten die Sumerer in den fruchtbaren Flussniederungen und organisierten sich in Stadtstaaten. Zu den politisch einflussreichsten Zentren der sumerischen Frühzeit gehörten um die Mitte des 4. Jahrtausends v. Chr. die Städte Uruk und Ur. Aus dem Gebiet von Uruk stammen die ältesten schriftlichen Zeugnisse unserer Geschichte.

Die Schrift, die hier etwas früher als in Ägypten erfunden wurde, wandelte sich von einer anfangs reinen Bilderschrift, die man ohne Kenntnis der Sprache verstehen kann, zur Keilschrift (Abb. 4).

Die Schriftzeichen wurden mit einem Griffel in weiche Tontafeln gedrückt, die an der Sonne getrocknet wurden. Der dreieckige Querschnitt des Griffels bewirkte, dass beim Eindrücken in den weichen Ton eine keilförmige Kerbe oder eine Art Winkelhaken (s. Abb. 4) erzeugt wurde, je nachdem ob der Griffel in flacher oder steiler Haltung eingesetzt wurde. Aus diesen beiden Elementen, dem Keil und dem Winkelhaken, wurde die ganze Schrift aufgebaut (daher der heute gebräuchliche Name „Keilschrift“), einschließlich der Zahlzeichen. Auf das derart verzifferte Zahlsystem gehen wir im nächsten Abschnitt ein.

Abb. 4: Zur Entwicklung der Schrift. Von links nach rechts: Archaische Form der Bilderschrift; entsprechende Formen nach der Drehung der Schreibrichtung (oder der Tafel); sumerische Keilschrift; assyrische Keilschrift; Wortbedeutung.

Als Erfinder der Schrift gelten die Verwalter der großen Tempel, da Schrift und Rechentechniken zuerst und über Jahrhunderte hinweg ausschließlich im Dienst der Tempelverwaltung standen.

Um 2500 v. Chr. bildeten sich aus der Priesterschaft spezialisierte Schreiberschulen heraus. Neben den ersten literarischen Texten wurden aus diesem Umfeld Sammlungen mathematischer Aufgaben ohne direkten Anwendungsbezug gefunden, die offensichtlich für Unterrichtszwecke zusammengestellt worden waren.

Gegen die sumerischen Herrscher erhob sich das Reich von Akkad. Sargon I. (ca. 2250–2200 v. Chr.), „Herrscher der vier Weltteile“, begründete den ersten zentralisierten Großstaat mit der Hauptstadt Akkad. Die schriftlosen Akkader übernahmen die sumerische Keilschrift und passten sie ihrer Sprache an.

Doch dieses Reich hatte, wie alle nachfolgenden, keinen langen Bestand. Nach Sargons Tod verfiel das Reich durch Spannungen im Innern und durch Einfälle von Nachbarvölkern aus den östlichen Bergregionen.

Nach einer Übergangszeit, in der die Macht wieder an einzelne Städte fiel, gelangte das Reich von Sumer und Akkad um 2000 v. Chr. für etwa hundert Jahre zu einer letzten Blüte. Neben dem Akkadischen als Verkehrssprache blieb das Sumerische als Kultsprache erhalten. Die Herrschaft wurde von einer hochentwickelten Tempel- und Staatswirtschaft getragen, das Sumerertum erlebte eine letzte politische und kulturelle Blüte.

In dieser Zeit des altbabylonischen Reiches erlebte die Mathematik ihre höchste Blüte; die wichtigsten mathematischen Keilschrifttexte stammen aus dieser Zeit. Heute sind wir im Besitz von mehreren hundert Tabellentext-Tafeln und rund hundert Tafeln mit mathematischen Problemtexten. Aus den folgenden Jahrhunderten gibt es nur noch vereinzelte mathematische Texte, der letzte aus der Zeit um 75 n. Chr.

Etwa gleichzeitig mit dem Beginn der sumerischen Besiedlung des südlichen Zweistromlandes bildet sich die ägyptische Hochkultur im Niltal heraus. Der Nil war Ägyptens Lebensader. Das Land umfasste zwar weit mehr als nur das Niltal, jedoch waren die Wüstengebiete nicht besiedelt. Die Wüsten und die anderen natürlichen Grenzen stellten einen ausgezeichneten (wenngleich, wie die spätere Geschichte zeigt, nicht absoluten) Schutz gegen Eindringlinge dar. Das hat zu der seltenen Statik und konservativen Haltung geführt, die auch auf dem Gebiet der Mathematik so offensichtlich ist.

Die schöpferischste Phase im alten Ägypten ist die frühdynastische Periode, die mit Menes, König von Oberägypten, um 3100 v. Chr. beginnt und bis etwa 2700 v. Chr. dauert. Menes unterwarf Unterägypten und errichtete eine neue Hauptstadt, das spätere Memphis. Viele Grundformen der ägyptischen Kultur, wie sie in den nächsten drei Jahrtausenden vorherrschten, entstanden bereits jetzt. Die Fertigkeiten in Handwerk, Kunst und Technik entfalteten sich rasch. Die Lebensbedingungen verbesserten sich, was zu einem schnellen Bevölkerungswachstum führte.

Mit dem Beginn des Alten Reiches um 2700 v. Chr., das etwa 500 Jahre Bestand hatte, waren bereits die nötigen Fertigkeiten und Arbeitskräfte vorhanden, um die berühmte Stufenpyramide von Sakkara für König Djoser zu bauen, das erste ganz aus behauenem Stein errichtete Monument Ägyptens. Die Stufenpyramiden wurden zu geometrisch reinen Pyramiden weiterentwickelt. Markanteste Beispiele dafür sind die große Cheops- und die Chephren-Pyramide von Giseh. Im ausgehenden Alten Reich (bis etwa 2200 v. Chr.) schmückten Könige und Würdenträger ihre Tempel und Gräber weiterhin mit Reliefs und Statuen, deren künstlerische Qualität nie übertroffen wurde. Politisch war es eine Epoche des Niedergangs, die im Zusammenbruch der Zentralregierung gipfelte.

In der Ersten Zwischenzeit, etwa von 2200 bis 2000 v. Chr., lag die tatsächliche Macht bei den Gaufürsten. Die nationale Einheit wurde schließlich von den Gaufürsten von Theben wiederhergestellt. Eine starke Zentralregierung mit der neuen Hauptstadt Theben schaffte die Grundlagen für eine neue wirtschaftliche und kulturelle Blütezeit.

Im Mittleren Reich von etwa 2000 bis 1800 v. Chr., wurde das Land in großem Umfang urbar gemacht und bewässert; vermutlich sollte damit einer Wiederholung der Hungersnöte, wie sie seit dem Ende des Alten Reiches öfters herrschten, vorgebeugt werden. Eine Blüte erlebten Kunst und Literatur.

Aus dieser Zeit stammen, mit einer Ausnahme, alle bedeutenden schriftlichen Quellen zur Mathematik. Unter diesen ist der Papyrus Rhind von größter Bedeutung, benannt nach dem Engländer A. Henry Rhind, der die Rolle 1858 in Ägypten gekauft und dem Britischen Museum überlassen hat, wo sie seitdem aufbewahrt wird. Wichtig sind ferner der Moskauer Papyrus, heute im Puschkin-Museum, Moskau, und eine Lederrolle im Britischen Museum. Weniger bedeutend sind zwei Holztafeln, die um 2000 v. Chr. entstanden sind und jetzt in Kairo aufbewahrt werden, ferner ein Papyrus aus Kahun, jetzt in London, und der sogenannte Berliner Papyrus aus Theben.

Wie bereits in der Einleitung vermerkt, zeigen diese Quellen, ebenso wie die altbabylonischen, die Mathematik bereits auf ihrem höchsten Entwicklungsstand, mit dem wir uns in Kapitel 2 eingehend beschäftigen werden.

Nicht viel später als zur Zeit der Besiedlung des Zweistromlandes und des Niltales hat sich eine indische Hochkultur im Industal herausgebildet. Führende Städte waren Harappa und Mohenjo-Daro, von denen es seit 1925 archäologische Funde gibt. Mohenjo-Daro war demnach eine hochstehende Kultur mit Steinhäusern, Kanalisation und beschrifteten Siegeln, die die Archäologen an den Anfang des dritten vorchristlichen Jahrtausends datieren. Funde deuten darauf hin, dass es regelrechte Handelsbeziehungen mit dem Vorderen Orient gab.

Unter den Funden sind schriftliche Aufzeichnungen, die jedoch bis heute nicht entziffert werden konnten. Einige scheinen Zahlzeichen zu sein, ihre Bedeutung ist aber bis jetzt rätselhaft.

Die alten Indus-Kulturen verschwanden um 1500 vollständig, als im Zuge der indoeuropäischen Wanderungen die sogenannten Arier in die Gebiete von Indus und Ganges eindrangen.

Die „Vedische Zeit“ der folgenden 1000 Jahre bis 500 v. Chr. gab dem indischen Subkontinent sein bis heute gültiges Gepräge. Die „Vedas“ aus dieser Zeit sind die älteste indische Literatur; sie bestehen überwiegend aus Hymnen an die arischen Götter. Ihre Sprache ist das Sanskrit, ein Zweig der indoeuropäischen Sprachfamilie.

Am Ende dieser Zeitspanne um 500 v. Chr., etwa zeitgleich mit Pythagoras und der Entstehung des persischen Weltreiches, lebte Buddha („der Erleuchtete“) und verkündete, dass durch Selbstvervollkommnung die fortschreitende Wiedergeburt beendet werden kann und die durch sittliches Verhalten geläuterte Seele ins Nirwana eingehen lässt.

Aus dieser, der vedischen Zeit, als die Mathematik in Babylon und Ägypten längst ihre schöpferische Kraft verloren hatte und höchstens noch als ein erstarrtes System tradiert wurde, stammen auch die ersten mathematischen Zeugnisse Indiens, die sogenannten „Sulba-Sutras“ oder Schnurregeln. Einige Experten datieren sie auf die Zeit zwischen dem 15. und 12. Jahrhundert, die meisten ordnen sie dem 8. bis 3. Jahrhundert v. Chr. zu.

Diese Schriften sind in drei Versionen überliefert, alle drei sind in Versen abgefasst, vermutlich zur Unterstützung der Schüler, die diese „Regeln“ auswendig zu lernen und schematisch anzuwenden hatten. Sie geben Kenntnisse wieder, die vermutlich über Jahrhunderte mündlich tradiert wurden. Die Schnurregeln basieren auf dem pythagoreischen Lehrsatz und der Kenntnis pythagoreischer Zahlentripel (vgl. Abschnitt 3.3). Sie dienten rituellen Zwecken wie dem Abstecken rechter Winkel mit Knotenschnüren und Bambusstäben zur Konstruktion von Altären. [Juschkewitsch, S. 92, 96]

Dies sind Kenntnisse, die bereits 1000 Jahre früher in Mesopotamien bekannt waren, was wegen der regen Handelsbeziehungen Abhängigkeiten von babylonischer Mathematik vermuten lässt. Auch Kenntnisse über griechische Mathematik sind nicht unwahrscheinlich, eindeutige Zusammenhänge sind jedoch nicht nachweisbar.

Allmählich bildete sich ein kulturell vereintes Königreich in Nordindien vom Indus bis zum Ganges heraus, auf das 516 v. Chr. der Perserkönig Darius I. und 327 Alexander der Große traf. Im Gefolge von Alexander kamen Wissenschaftler verschiedenster Diziplinen ins Land. Die Seleukiden, die Nachfolger Alexanders im Osten, verließen bald die indischen Gebiete, man kann aber davon ausgehen, dass weiterhin auf kulturellem und wissenschaftlichem Gebiet ein Gedankenaustausch stattfand.

Ab 270 v. Chr. bildete sich unter Ashoka das erste indische Großreich, das ganz Indien außer den Süden umfasste. Gegen Ende seiner Regierungszeit zerfiel das Reich. Aus dieser Zeit stammen Texte, die zeigen, dass die Zahlenschreibweise der unseren bereits recht ähnlich ist – weshalb wir unsere Ziffern als „indische“ bezeichnen.

Erst ab 320 n. Chr. erlebte Indien eine neue Blüte. Das Gupta-Reich führte zu großen Fortschritten in den Wissenschaften, darunter besonders der Astronomie und in ihrem Gefolge auch die Mathematik. Die Guptas konnten sich mit wechselndem Erfolg gegen innere Unruhen und Bedrohungen durch Hunneneinfalle bis zum Eindringen der Araber 710 halten.

Während das Alter aller Nachrichten aus vorchristlicher Zeit über mathematische Kenntnisse sehr unbestimmt, und wegen der Neigung aller alten Kulturen, bei Altersangaben verehrter Überlieferungen stark zu übertreiben, äußerst unsicher ist, haben wir es erst seit dem 5. und 6. Jahrhundert n. Chr. mit zuverlässig datierbaren Quellen indischer Mathematik zu tun. In dieser Zeit wurde das gesamte indische mathematische Wissen im Wesentlichen von zwei Mathematikern zusammengefasst und durch eigene Leistungen ausgebaut: Aryabhata (um 500 n. Chr.) und Brahmagupta (598–665 n. Chr.).

Wenden wir uns weiter nach Osten, so treffen wir auf die letzte von uns zu behandelnde Hochkultur: China. Dörfliche und städtische Ansiedlungen sind seit 7000 v. Chr. in den Flussniederungen des Hoangho in Nordost-China nachweisbar. Erst später verbreiteten sie sich im Flussbecken des Jangtsekiang.

Der Anfang der Bronzezeit um 1600 v. Chr. deckt sich mit dem Beginn der ersten geschichtlichen Dynastie, der Shang-Dynastie (bis 1000 v. Chr.). Es war eine feudale Gesellschaft. Die Städte, in denen sich Tempelanlagen befanden, waren mit Mauern umgeben. Es entwickelte sich eine Zeichenschrift, die von Orakelpriestern benutzt wurde. Im Mittelpunkt des religiösen Lebens stand der Taoismus (Tao als leitendes Prinzip der gesetzmäßigen Ordnung des Kosmos). Daneben gab es Naturreligionen mit Natur- und Ahnengeistern, Opferkult und Orakelwesen.

Über die ältesten Zeiten mathematischer Betätigung sind nur sehr fragmentarische Nachrichten erhalten, und diese haben zumeist legendären Charakter. Obgleich Spuren von Zahlenmystik bis in die heutige Zeit verfolgt werden können, kann man über den Sinn der chinesischen Funde keine zuverlässigeren Aussagen machen als die, dass man sich mit Zahlen beschäftigte, und dass Zahlen nicht nur der Ordnung der Dinge des praktischen Lebens dienten, sondern darüber hinaus eine Art religiöse Bedeutung hatten. Wie in allen Kulturen zu allen Zeiten hatten Zahlen auch im alten China eine allegorische Bedeutung, eine Hilfsfunktion zur Erklärung von rational noch nicht oder prinzipiell nicht erfassbaren, scheinbar oder wirklich übernatürlichen Phänomenen.

Die Shang-Dynastie wurde um 1000 v. Chr. durch die Chou-Dynastie abgelöst. Unter ihr verfiel allmählich die Zentralgewalt. Die Fürsten und Lehnsherren gewannen an Macht, fortwährende Kriege gegeneinander zerrütteten das Land. Die Städte gewannen an Bedeutung und entfalteten eine ausgedehnte Handelstätigkeit.

In den Jahren 551–479(?) v. Chr. lebte Konfuzius, Schöpfer einer einflussreichen religiös begründeten sozial-ethischen Philosophie. Weitere wichtige Philosophen im 6. bzw. 5. Jahrhundert waren Lao-tse, der dem Taoismus eine philosophische Prägung gab, und Mo-ti, der einen religiösen Sozialismus begründete. (Der Buddhismus erreichte China erst zu Beginn unserer Zeitrechnung von Indien her.)

Mo-ti war vorwiegend – ähnlich wie Sokrates, der etwa zur gleichen Zeit lebte – Sozialethiker. Aufgrund seines Einflusses erschienen in den folgenden Jahrhunderten aber auch logische und erkenntnistheoretische Schriften. Im sogenannten „Kanon der Mohisten“ finden sich Definitionen von geometrischen Grundbegriffen, die an die Elemente von Euklid erinnern; es wird aber keine deduktive Geometrie auf ihnen aufgebaut. Vielleicht sind es nur Lehrbeispiele für das Definieren von Begriffen im Rahmen philosophischen Denkens.

Die für die Mathematik wichtigste Zeit war die Han-Epoche. Unter der Han-Dynastie erfolgte ab 200 v. Chr. (bis etwa 200 n. Chr.) eine erneute Festigung des Staates. Das Reich dehnte sich aus, der Handel über die Seidenstraße nach Persien bis ins Mittelmeergebiet florierte. Ein ausgedehnter Beamtenapparat kontrollierte die Verwaltung. Die Beamten wurden in Schulen auf ihre Tätigkeit durch Unterweisung in Staats- und Gesellschaftsphilosophie (beeinflusst durch die Lehren des Konfuzius), aber auch in Mathematik und Astronomie vorbereitet.

In dieser Zeit entstanden die ersten Schriften der später sogenannten „Zehn mathematischen Klassiker“, eine Sammlung von Büchern, deren letztes im 6. Jahrhundert n. Chr. entstanden ist. Bis zum 10. Jahrhundert n. Chr. dienten sie in den kaiserlichen Akademien als Lehrbücher und als Prüfungsgrundlage. Das mathematikgeschichtlich bedeutendste unter ihnen ist ein Buch in neun Kapiteln (Büchern), die „Neun Bücher arithmetischer Technik“ oder „Mathematik in neun Büchern“, chinesisch „Chiu Chang Suan Shu“ (im Folgenden kurz „Neun Bücher“ genannt). Es handelt sich um ein Lehrbuch für Verwaltungsbeamte. Der älteste bekannte Text ist eine kommentierte Ausgabe von Liu Hui aus dem 3. Jahrhundert n. Chr., der die Abfassung des Buches einem hohen Beamten der Han-Zeit zuschreibt. Noch einige andere mathematische Texte waren im Umlauf.

Es zeigen sich Ähnlichkeiten mit babylonischer und ägyptischer Mathematik. Ob Beziehungen zwischen China und Babylon bestanden – was wegen der Handelsbeziehungen nicht ganz abwegig ist –, ist nicht klar. Im Ganzen ergibt sich jedenfalls ein Bild von einer Mathematik ganz eigener Art.

In der späten Han-Zeit (3. Jahrhundert n. Chr.) erreichte die Mathematik eine gewisse theoretische Phase. Zu dieser Zeit wurden auch auf anderen Gebieten, zum Beispiel der Astronomie, Geographie und Technologie beachtliche Fortschritte gemacht (darunter die Erfindung des Papiers). Enge Beziehungen zwischen diesen Wissenschaften und der Mathematik sind aber nicht nachzuweisen.

Nach der Han-Periode zerfiel das Reich. Sowohl politisch als auch kulturell erlebte es eine neue Blüte nach ca. 300 Jahren in der Anfangszeit der Tang-Dynastie (618–907). In den kaiserlichen Akademien florierte der schon erwähnte mathematische Unterricht auf der Grundlage der klassischen Texte, insbesondere den „Zehn mathematischen Klassikern“.

1.2 Technische und wirtschaftliche Erfordernisse

Dass weite Teile unserer Gesellschaft durch Mathematik geprägt sind, braucht kaum erwähnt zu werden. Umgekehrt haben Anforderungen der Gesellschaft die Mathematik nicht nur geprägt, sie dürfen wohl, wenn man in die Geschichte blickt, geradezu als Ursprung und entscheidende Triebfeder mathematischer Tätigkeit und Erfindungsgabe angesehen werden. Freilich gab es Gesellschaften und Epochen – etwa die Römer und das europäische Mittelalter –, in denen bewundernswerte technische Leistungen weitgehend ohne Mathematik hervorgebracht wurden, und es gab (und gibt) Gesellschaften, in denen Mathematik so gut wie gar keine Rolle spielt. Anders verhielt es sich in den frühen Hochkulturen.

Diese entstanden, wie erwähnt, in den Flusstälern an Euphrat und Tigris in Mesopotamien, in Ägypten am Nil, in Indien am Indus, in China am Hwangho. Hier sahen sich die Menschen, soweit sie sich nicht vollständig den Unwägbarkeiten der Naturgewalten aussetzen wollten, mit einer Vielfalt technischer Probleme konfrontiert. Die anfallenden Aufgaben waren aufwendig und komplex und erforderten deshalb das Zusammenwirken der Menschen. Organisation der Wirtschaft durch Arbeitsteilung – Versorgung der Menschen, Auferlegung von Steuern und Abgaben – gehörte ebenso dazu wie eine planvolle Verwaltung und Bereitstellung von erwirtschafteten Überschüssen.

Eine Verwaltung, die diesen Anforderungen gewachsen sein wollte, ist für uns ohne Schrift und Mathematik schwer vorstellbar. Die mathematischen Quellen geben ein beredtes Zeugnis dieser Entwicklungen. Für Mesopotamien wird das dadurch belegt, dass die überwiegende Zahl der gefundenen Tontafeln Wirtschaftstexte mit dem Zweck der Buchführung sind. Auch die Praxis, versiegelte Gefäße mit Steinchen als eine Art Beleg oder Rechnung zu nutzen, oder die bis in moderne Zeiten verbreiteten Kerbhölzer sowie die Quipus der Inkas (siehe Einleitung) machen den ursprünglichen Zweck der Mathematik – wenn auch nur einen Randbereich – deutlich.

Buchführung benötigt zwar kaum mehr als Addition und Subtraktion, andere Aufgaben wie Verteilungen im Haushalt oder an der Arbeitsstelle erfordern dagegen diffizilere Rechenverfahren. Besonders wichtig ist dabei ein zweckmäßiges Maßsystem mit sinnvollen und leicht zu handhabenden Unterteilungen.

Unumgängliche Aufgaben der frühen Hochkulturen in den Flusstälern waren groß angelegte Vorbereitungsarbeiten zum Zwecke der Bewässerung sowie Schutzarbeiten zur Lenkung der Überschwemmungen: Bau von Dämmen, Gräben und Kanälen, von Aquädukten und Staubecken für Trinkwasser, die Ermittlung des Bedarfs an Material und Arbeitskräften für den Bau einer Rampe, für den Transport eines Obelisken und ähnliches.

Für „Beweise“ gab es auf diesen Feldern der Mathematik keinen Bedarf und konnte es auch nicht geben. Numerische Regeln sind solange hinreichend, wie sie plausible Ergebnisse liefern. Die angewandte, oder besser die praktische Mathematik, ist nicht das Feld für Beweise, sondern für Näherungsverfahren. Die alten Kulturen haben hierfür erstaunliche Methoden entwickelt, die wir zum Teil noch heute verwenden.

Wenn man von der Mathematik der Griechen spricht, meint man im Allgemeinen diejenige Mathematik, die ihre charakteristische Ausprägung unter dem Einfluss der Philosophen erhalten hat. Davor und daneben gab es aber auch in Griechenland eine „praktische“ Mathematik, die in den Anforderungen der Alltagsgeschäfte ihre Wurzeln hatte und zu ihrer Fortentwicklung beitrug. In Griechenland wurde solche Mathematik Logistik genannt und – wenn überhaupt – von der „wissenschaftlichen“ Mathematik getrennt behandelt. Über diesen Zweig der Mathematik gibt es gelegentliche Erwähnungen, aber fast keine direkten Quellen; wir kommen darauf in Abschnitt 4.5 zurück.

1.3 Ausbildung und Berufspraxis

Um 2000 v. Chr. hat sich in Mesopotamien und Ägypten bereits so viel positives Wissen angesammelt, dass es zu einer irgendwie organisierten Form der Weitergabe kommen musste. Direkte Zeugnisse für einen institutionalisierten Unterricht, insbesondere die Mathematik betreffend, sind zwar spärlich, aber in vielen Quellen finden sich deutliche Hinweise.

Häufig spiegeln die Texte Dialoge zwischen Lehrer und Schüler wider oder Anweisungen des Lehrers an den Schüler. Zum Beispiel, wenn es in einem babylonischen Text heißt:

„Ein Schilfrohr habe ich abgeschnitten. Du bei deinem Verfahren, das Rohr, das du nicht kennst, nimm …“ [VAT 7532].

So oder ähnlich wiederholen sich die Formulierungen. In Ägypten finden wir im Papyrus Rhind ähnliche Hinweise auf einen mündlichen Unterricht, etwa in Aufgabe 30:

„Wenn der Schreiber dir sagt … Lass ihn hören!“ [Vogel I, S. 54]

Auch zahlreiche Aufgaben, die eine Einkleidung aus dem praktischen beruflichen Umfeld aufweisen, deren Daten aber völlig realitätsfern, zum Teil geradezu grotesk sind, weisen auf einen Schulbetrieb hin. Zum Beispiel wenn der Inhalt eines mit Wasser gefüllten Würfels mit der unwahrscheinlichen Kantenlänge von 120 Ellen berechnet werden soll.